Theorems in arithmetic. (Q1553116)

Aus dem Gauss'schen Theorem \[ 4 \frac{x^p-1}{x_1} =Y^2 - \left(\frac{-1}{p}\right) px^2Z^2 \] wird ein ähnliches: \[ 16\frac{x^p-1}{x-1}=G^2 \left(\frac{-1}{p} \right) px^2H^2 \] hergeleitet und auf die Functionen \(u_n, v_n\) angewendet. (Siehe die vorige Arbeit JFM 10.0134.05.) \(\frac{v_{2pr}}{v_{2r}}, \frac{u_{pr}}{u_r}\) werden zerlegt, und sobald \(p\) eine Primzahl von der Form \(4q+1\) ist, findet man: \[ \frac{u_{pr}}{u_r} =Y^2-p Q^r Z^3, \quad \frac{v_{pr}}{v_r}=Y^2+ pQ^r A\Delta Z^2; \] da unter gewissen Umständen die zeiten Summanden der rechten Seiten Quadrate werden, so hat man in diesem Falle eine Factorenzerlegung der Quotienten auf der linken Seite und kann dies zur Erforschung des Primzahlcharakters gewisser Zahlen von der Form \(2^m+1\) benutzen. Siehe auch die Arbeit von Bouniakowsky p. 127-128, JFM 10.0127.01.