On the transformation of linear forms of prime numbers into quadratic forms. (Q1553158)

Wenn eine Primzahl \(p\) von einer der linearen Formen \(2\alpha m+1\) oder \(4\alpha m+1\) in die quadratische Form \(x^2+\alpha y^2\) gebracht werden kann, so ist \[ x\equiv \pm \frac12 A^m\cdot \varphi(m)^{c_1}\cdot \varphi(2m)^{c_2} \cdot \varphi(3m)^{c_3} \cdots \varphi(\alpha m)^{c_\alpha} \quad \text{(mod. \(p\))}, \] wobei \(A\) eine algebraische Function von \(m\) bedeutet, \(c_1, c_2, \dots c_\alpha\) ganze Zahlen \(<p\) sind, \(\alpha\) eine ganze Zahl \(\leqq\frac{p-1}{4p}\) ist, und \[ \varphi(m) \frac{(m+1)(m+2)\cdots (2m)}{1\cdot 2\cdots m} \] wird. Für eine Reihe von linearen Formen werden die Werthe von \(x\) gegeben.