De l'emploi des solutions particulières algébriques dans l'intégration des systèmes d'equations différentielles algébriques. (Q1553297)

(siehe auch JFM 10.0214.01, JFM 10.0214.02, JFM 10.0214.03) Gemäss der im Wesentlichen rein algebraischen Natur der Untersuchungen, die der Herr Verfasser über die Differentialgleichungen \(1^{\text{ter}}\) Ordnung und \(1^{\text{ten}}\) Grades anstellt, geht er von der in homogenen Variabeln geschriebenen Form derselben \[ \text{(a)} \quad L(ydz-zdy) +M(zdx-xdz) +N(xdy-ydx)=0 \] aus, wo \(L, M, N\) ganze homogene Functionen desselben Grades \(m\) sind und zeigt in der Einleitung zu der ersten, ausführlicheren der obigen Arbeiten den Zusammenhang zwischen dieser Form und anderen bekannten Formen der Differentialgleichungen \(1^{\text{ter}}\) Ornung und \(1^{\text{ten}}\) Grades. Man kann dieselben auf unendlich viele Weisen auf die Form (a) bringen; unter allen diesen wird eine als Normalform hervorgehoben, nämlich diejenige, welche die invariante Bedingung \[ H\equiv \frac{\partial L}{\partial x} +\frac{\partial M}{\partial y} +\frac{\partial N}{\partial z}=0 \] erfüllt, und auf welche sich jede Differentialgleichung nur auf eine Weise bringen lässt; hieraus schliesst man, dass sich die in (a) auftretenden wesentlichen Constanten auf \(m^2+4m+2\) reduciren lassen. Die eigentliche Arbeit zerfällt in zwei Abschnitte. Im ersten handelt es sich um die Entwickelung einer neuen Integrationsmethode. Der Multiplicator \(\mu\) von \((a)\)m d. i. diejenige Function, welche den Ausdruck (a) zu einem exacten Differential einer homogenen Function vom Grade 0 macht und nothwendiger Weise vom Grade \(-(m+2)\) ist, wird durch die partielle Differentialgleichung \(\varDelta(\mu) +\mu H=0\) (unter \(\varDelta\) die Operation \[ L\frac{\partial}{\partial x} +M\frac{\partial}{\partial y} +N\frac{\partial} {\partial z} \] verstanden) definirt, deren Integration auf die des Systems \[ \frac {dx}L =\frac{dy}M =\frac{dz}N \] hinauskommt. Die Integration diese Systems und die der Gleichung (a) sind daher äquivalente Probleme. Diese Bemerkung ist schon längst für die Integration der Jacobi'schen Gleichung verwerthet worden. Damit \(\varphi(x,y,z)=l\) das allgemeine Integral sei, ist nothwendig und hinreichend, dass \(\varDelta\varphi=0\) und \(\mu\) eine homogene Function von der Ordnung 0 ist. Zunächst handelt sich nun um die Auffindung von particulären algebraischen Integralen \(f(x,y,z)=0\) von (a); zu diesem Zwecke hat man nur die Coefficienten von \(f\) so zu bestimmen, dass die Gleichung \(\varDelta(f)=K\cdot f\), wo \(K\) eine unbestimmte Function vom Grade \(m-1\) ist, identisch erfüllt wird. Hat man dann eine Anzahl \(p\) solcher Integrale \(u_1,\dots u_p\), von dem resp. Grade \(h_1, \dots, h_p\), bestimmt, so ist \[ \varDelta(u_1) =K_1u_1, ,\dots, \varDelta(u_p)=K_pu_p \] und \[ \varDelta (u_1^{\alpha_1} \dots u_p^{\alpha_p}) =K(\alpha_1K_1 +\cdots +\alpha_pK_P) u_1^{\alpha_1} \dots u_p^{\alpha_p}. \] Kann man daher die \(p\) Constanten \(\alpha\) so bestimmen, dass \[ \text{(b)} \quad \sum_i \alpha_iK_i =0, \quad \sum_i \alpha_ih_i=0 \quad (i=1,\dots, p) \] ist, so besitzt man in \(u_1^{\alpha_1}\dots u_p^{\alpha_p}=l\) das allgemeine Integral von (a). Im ungünstigsten Falle reicht die Kenntniss von \[ q=\frac{m(m+1)}2 +2 \] Integralen aus, um den Gleichungen (b) zu genügen. Als Beispiel ergiebt sich eine sehr einfache Integration der Jacobi'schen Gleichung (\(L, M, N\) lineare Functionen). Die particulären Integrale können noch auf eine zweite Weise zur Integration verwendet werden. Kann man nämlich die \(p\) Constanen \(\alpha\) so bestimmen, dass \[ \text{(c)} \quad \sum_i \alpha_i K_i =-H \quad \text{und} \quad \sum_i \alpha_i h_i= -(m+2) \] ist, und dies kann immer geschehen, wenn \(p=q-1\) ist, d. h. wenn man \(q-1\) particulären Integrale kennt, so ist \[ \varDelta (u_1^{\alpha_1}\dots u_p^{\alpha_p}) +Hu_1^{\alpha_1} \dots u_p^{\alpha_p} =0, \] und man hat also in \(\mu=u_1^{\alpha_1}\dots u_p^{\alpha_p}\) einen Multiplicator von (a). Sollte die Determinante des Gleichungssystems (c) verschwinden, so wird diese Bestimmung des Multiplicators zwar illusorisch, aber man befindet sich in dem noch günstigeren Falle, sofort das allgemeine Integral von (a) angeben zu können, nämliich \(\mu=1\). Ferner sei hervorgehoben, dass umgekehrt jeder rationale Factor eines Multiplicators ein particuläres Integral liefert. Die Anzahl der particulären Integrale, deren Kenntniss für den in Rede stehenden Zweck nothwendig ist, braucht in vielen Fällen die angegebene Grösse gar nicht zu erreichen; der eigentliche Grund hierfür wird durch eine eingehende Betrachtung der singulären Punkte der Differentialgleichung aufgedeckt. Singuläre Punkte heissen nämlich diejenigen, für deren Coordinanten die Differentialgleichung identisch verschwindet, d. h. \[ \frac Lx= \frac My= \frac Nz \] ist (geometrisch ausgedrückt: zu denen durch die Differentialgleichung keine bestimmte Tangente definirt wird, wie es sonst der Fall ist). Ihre Anzahl ist \(m^2+m+1\) und , was ihre Lage betrifft, so können höchstens \(m+1\) in einer Geraden, aber \((m+1)p\) für \(p>1\) niemals auf einer nicht zerfallenden Curve \(p^{\text{ter}}\) Ordnung liegen. Auf jeder Curve \(p^{\text{ter}}\) Ordnung, die durch ein particuläres Integral \(f=0\) dargestellt ist, liegen wenigstens \[ p(m-p+2)+h' \] singulären Punkte, wo \(h'\) die Anzahl der gemeinschaftlichen Lösungen von \[ \frac{\partial f}{\partial x}=0, \cdots \frac{\partial f}{\partial z}=0 \] ist. Jeder singuläre Punkte der Curve \(f=0\) ist ein singulärer Punkte der Differentialgleichung, ebenso jeder Schnittpunkt der durch zwei particuläre Integrale dargestellten Curven. Was nun die obige Frage nach der Reduction der Anzahl der particulären Lösungen, deren Kentniss nothwendig ist, betrifft, so ergiebt sich der Satz: Hat man \[ p= \frac{m(m+1)}2 +2-q \] particuläre Integrale \(u_1\dots u_p\) und giebt es \(q\) singulären Punkte, durch welche die durch jene repräsentirten Curven nicht gehen, so ist \(u_1^{\alpha_1}\dots u_p^{\alpha_p}=l\) das allgemeine Integral. Vorausgesetzt ist hierbei, dass die \(q\) Punkte nicht so liegen, dass jede Curve \((m-1)^{\text{ter}}\) Ordnung, welche eine gewisse Anzahl von ihnen enthält, durch einige der übrigen Punkte geht. Mit einem Artikel über die Transformation der betrachteten Differentialgleichung schliesst der erste Abschnitt. Der zweite Abschnitt enthält die Anwendung der entwickelten Methoden auf den, nach der Jacobi'schen Gleichung einfachsten speciellen Fall der Differentialgleichung (a), wo \(L, M, N \) von der \(2^{\text{ten}}\) Ordnung sind. Aus der Discussion des Verhaltens der singulären Punkte ergeben sich Anhaltspunkte für die Aufstellung particulärer Lösungen. Dies vorausgeschickt, zeigt der Verfasser in sehr eingehender Weise, von der sehr grossen Reihe von möglichen Arten von particulären Integralen ausgehend, wie man von diesen zu dem allgemeinem Integrale gelangt. Es sei hervorgehoben, dass, während die Jacobi'sche Gleichung eigentlich nur eine einzige Form für das allgemeine Integral liefert, sich in dem vorliegenden Falle schon eine grosse Anzahl verschiedener Typen hierfür ergeben. Schliesslich giebt der Verfasser noch eine synthetische Methode, vermittelst deren man die Resultate diese Abschnitts theils verficiren, theils noch vermehren kann. Geht man nämlich von der allgemeinsten Form eines algebraischen Integrals \(u_1^{\alpha_1} \dots u_p^{\alpha_p}=l \) zu der Differentialgleichung \[ \left( \alpha_1 \frac{du_1}{u_1}+ \cdots +\alpha_p \frac{du_p}{u_p}\right) u_1^{\alpha_1}\dots u_p^{\alpha_p}= L(ydz- zdy) +\cdots =0 \] über, so sieht man leicht, dass jede algebraische Differentialgleichung allgemeine Integrale dieser Gestalt wird zulassen können, wenn die \(\alpha\) und \(h\) den Gleichungen \[ \sum h\alpha =0, \quad \sum h=m+2 \] genügen. Aber -- und dies ist sehr wesentlich -- man braucht auf diese Weise nicht sämmtliche Typen des allgemeinen Integrals der Differentialgleichung zu erhälten; es kann nämlich die Differantialgleichung ursprünglich in der Gestalt \[ \lambda^k \lambda' {}^{k'} \dots (Pdx+Qdy+Rdz) =0 \] auftreten, und dann wird durch Unterdrückung des Factors \(\lambda^k \lambda' {}^{k'}\dots\) der Grad der Gleichung erniedrigt, die Zahl \(m\) also verändert. Hierfür leitet nun der Verfasser folgenden Satz her: In der Differentialgleichung der Curven des Büschels \[ u_1^{\alpha_1}\dots u_p^{\alpha_p} - Cu_{q+1}^{\alpha_{q+1}} \dots u_p^{\alpha_p}=0, \] (die \(\alpha\) sämmtlich positiv angenommen) ist der Grad der Polynome \(L, M, N\) gleich \[ h_1\cdots +h_p-2-m_2-2m_3-3m_4\cdots, \] wo \(h\), der Grad von \(u_i, m_2\) die Summe der Grade der doppelten Curven und allgemein \(m_p\) die Summe der Grade der vielfachen Curven von der Ordnung \(p\) ist, die in dem Büschel enthalten und von der Curven \(u_i=0\) verschieden sind. Es heisst nämlich eine nicht zerfallende Curve \(U=0\) eine vielfache Curve des Büschels \(f-C\varphi=0\) von der Ordnung \(p_1\), wenn sich \(C_1\) so bestimmen lässt, dass \(f-C_1f_1 \equiv U^p \cdot \varphi\) ist. Eine grosse Anzahl von Büscheln mit mehrfachen Curven liefert die Theorie der algebraischen Formen; umgekehrt führt jedes algebraische Integral einer Differentialgleichung, welches für verschiedene Werthe von \(C\) mehrfache Curven darstellt, auf eine algerbaische Identität. Im dem zweiten und dritten der oben angeführten Aufsätze finden wir eine kurze Zusammenstellung der hauptsächlichsten Resultate der eben besprochenen. In der letzten endlich giebt Herr Darboux an, wie sich eine Methode auch auf das allgemeinste System von algebraischen Differentialgleichungen irgend welche Ordnung unmittelbar ausdehnen lässt.