Sur quelques propriétés des fonctions complètes de première espèce. (Q1553314)

(Siehe auch JFM 10.0237.01) Die Differentialgleichung, welche die vollständigen elliptischen Integrale als Functionen des Moduls darstellt, hat Herr Fuchs in seiner Abhandlung: ``Die Periodicitätsmoduln der hyperelliptischen Functionen als Functionen eines Parameters aufgefasst'' (Borchardt's J. LXXI. 91, siehe F. d. M. II. p. 248, JFM 02.0248.01) untersucht und ihre Eigenschaften aus den allgemeinen Resultaten abgeleitet, die er in Betreff der Periodicitätsmoduln der hyperelliptischen Integrale erhalten hatte. Der Verfasser beschränkt sich auf die Untersuchung der erwähnten speciellen Differentialgeleichung, die er auf die Form bringt: \[ (x^2-x) \frac{d^2y}{dx^2} -(1-2x) \frac{dy}{dx} +\frac14=0. \] Er bestimmt der die Fundamentalsysteme der Integrale in einer grösseren Anzahl von Bereichen, die in einander übergreifen, und stellt die linearen Relationen auf, welche zwischen den verschiedenen Gruppen der Lösungen existiren. Hierdurch ist man im Stande für einen beliebig vorgeschriebenen Weg, der nicht durch die singulären Punkte 0 und 1 geht, den Endwerth der Lösung anzugeben, wenn der Werth im Anfange des Weges fixirt ist. Für den Fall, dass \(x\) reell ist, werden folgende Sätze festgestellt: Es sei: \[ \varphi(x)=\sum_{\mu=0}^{\mu=\infty} a_\mu x^\mu \quad \psi(x) =\sum_{\mu=1} ^{\mu=\infty} a_\mu b_\mu x^\mu, \] wo \[ a_\mu =\left( \frac{1\cdot3\cdot5 \cdots 2\mu-1}{2\cdot4\cdot6\cdots2\mu} \right) ^2, \quad a_0=1, \] \[ b_\mu =1+\frac13+\frac15+ \cdots +\frac1{2\mu-1} -\frac12 -\frac14\cdots -\frac1{2\mu}, \] \(\varphi\) und \(\psi\) convergente Reihen innerhalb des Kreises um den Nullpunkt mit dem Radius 1 sind. Setzt man nun die Function \(\varphi(x)\) für Werthe von \(x<-1\) durch die Function \[ \frac1{\sqrt{1-x}} \varphi \left( \frac x{x-1} \right) \] fort, so erhält man eine continuirliche Funciton, welche von 0 bis \(\infty\) wächst, wenn \(x\) von \(-\infty\) bis 1 zunimmt. Die Function \(\frac{\psi(x)}{\varphi(x)}\) wächst in demselben Intervalle des Arguments beständig von \(-\infty\) bis \(\log2\), falls \(\psi(x)\) für Werthe von \(x<-1\) durch \[ \frac1{\sqrt{1-x}} \left[ \psi \left( \frac x{x-1} \right)-\frac14 \log (1-x) \varphi \left( \frac x{x-1} \right) \right] \] fortgesetzt gedacht wird. Wächst \(x\) von 0 bis 1, so wächst \(\frac QP\) von \(-\infty\) bis \(4\log2\), wo \[ P=\varphi(x), \quad Q=4\psi(x) -\varphi(x) \log x \] ein Lösungssystem der Differentialgleichung darstellen; die Wurzel der Gleichung \(Q=0\) liegt zwischen 0 und 1.