Relations between the coefficients and the roots of an entire transcendental function. (Q1553360)

Ein ganze transcendente Function ist eine solche, welche für alle endlichen Werthe der Veränderlichen eindeutig, endlich und stetig ist; sie lässt sich nach ganzen positiven Potenzen der complexen Veränderlichen in eine beständig convergente Reihe entwickeln. Unter Wurzeln oder Nullstellen einer solchen Function werden die endlichen Werthe der Veränderlichen verstanden, für welche die Function Null wird. Nun lässt sich, nach Weierstrass (siehe das vorige Referat) jede ganze Function mit einer endlichen oder unendlichen Zahl von Nullstellen als Product von Functionen derselben Gattung, deren jede nur eine Nullstelle hat, darstellen. Da diese Dastellung analog ist der Zerlegung einer ganzen rationalen Function in lineare Factoren, so kann man die Frage aufwerfen, ob solche, den bekannten Relationen zwischen den Wurzeln und den Coefficienten rationaler Functionen analoge Beziehungen auch für die ganzen transcendenten Functionen gelten. Diese Frage wird im Vorliegenden beantwortet. Die ganze Function habe die Form \[ f(x)=z_0+a_1x+a_2x^2+\cdots, \] und ihre Nullstellen \(\alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_p\dots\) seien folgenden Bedingungen unterworfen: 1) seien die \(\alpha_n\) von Null verschieden, ihre Anzahl sei unendlich; 2) sei \(--\alpha_n--\leqq--\alpha_{n+1}--\), und \(\lim_{n=\infty} \frac1{\alpha_n}=0\); 3) sei für jede ganze Zahl \(\mu \, \sum_{n=1}^\infty \frac1{\alpha_n^{\mu+1}}\) unbedingt convergent, und \(\sum_{n=1}^\infty \frac1{\alpha_n^k}\), wo \(k>\mu+1\), auch unbedingt convergent. Die allgemeine Form von \(f(x)\) ist \[ f(x)=\varphi(x)\cdot e^{F(x)}, \] \[ \varphi(x) =\prod_{n=1}^\infty \left( 1\frac x{\alpha_n}\right) e^{\sum_{n=1}^\mu \frac 1k \left( \frac x{\alpha_n} \right)^k} =1+c_1x+c_2x^2 +\cdots. \] Setzt man \[ \frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)} =-\sum_{k=1}^\infty s_{k+1}x^k, \] so wird \[ s= \begin{cases} 0 &\dots k\leqq \mu\\ \sum_{n=1}^\infty \frac1{\alpha_n^k} &\dots k>\mu. \end{cases} \] und die gesuchten Relationen haben die Form: \[ s_1c_n+ s_2c_{n-1}+\cdots +s_nc_1+s_{n+1}=-(n+1) c_{n+1}. \] Die Coefficienten der Function \[ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots \] sind mit den \(c_n\) und den Coefficienten der Reihe \[ e^{F(x)} =m_0+m_1x+m_2x^2+\cdots \] durch die Gleichungen \[ a_0=m_0, \quad a_1=m_0c_1+m_1, \quad a_2=m_0c_2+m_1c_1+m_2, \dots \] verbunden. Zum Schluss wird die Frage für den Fall behandelt, wo die dritte Bedingung, dass eine Zahl \(\mu\) existirt, für welche \(\sum_{n=1}^\infty \frac1{\alpha_n^{\mu+1}}\) unbedingt convergirt, nicht erfüllt ist. In diesem Falle enthalten die betreffenden Relationen nur eine begrenzte Zahl von Reciproken der Wurzeln.