Note on the polygons which are at the same time inscribed into a circle and circumscribed to another circle. (Q1553413)

Damit ein Polygon von \(n\) Seiten einem Kreise vom Radius \(R\) eingeschrieben und einem andern vom Radius \(r\) umschrieben sei, deren Centrale \(a\) ist, genügt es, wie man bewiesen hat, dass zwischen \(R, r\) und \(a\) eine algebraische Gleichung existirt, deren Grad mit \(n\) wächst. Jacobi (Crelle J. III.) hat eine Formel gegeben, mit der man successive die Gleichung für die verschiedenen Werthe von \(n\) erhalten kann. Diese Gleichugen hängen von Funcitonen \(P_n,Q_n\) an, die sich aus früheren \(P_{n-1},Q_{n-1},P_{n-2},Q_{n-2}\) leicht herleiten lassen. Herr Puiseux untersucht diese Functionen in elementarer Weise, woraus folgt: 1) Wenn \(n=4i+2\), kann man \(r=0\) machen. 2) Wenn \(n=6i+3\), so ist \(2Rr=R^2-a^2\). 3) Jeder Werth von \(r\) in \(R\) und \(a\), der einem \(n=2p+1\) entspricht,entspricht auch einem \(n=(2p+1)(2q+1).\) 4) Jeder Werth von \(r\), der einem \(n=2p\) entspricht, entspricht auch einem \(n=2p(2q+1).\) 5) Der Grad \(D\) in \(r\) der Gleichung in \(r, R, a\) für \(n=2p\), ist so, dass \[ D+\sqrt2=(1+\sqrt2)^{2p}-(1-\sqrt2)^{2p-2}, \] für \(n=2p+1\) \[ 4D+2=(1+\sqrt2)^{2p+2}+(1-\sqrt2)^{2p-2}. \]