On the classification of loci. (Q1553740)

Von dieser interessanten Arbeit ist nur Theil I. ``Curven'' von dem inzwischen verstorbenen Verfasser niedergeschrieben; einige Zusätze tragen das Datum: Januar 1879. Unter ``Curve'' wird ein continuirliches eindimensionales Aggregat einer Art von Elementen verstanden, also nicht das, was man in gewöhnlichen geometrischen Sinne eine Curve nennt, sondern zugleich ein einzelnes unendliches System von Curven, Oberflächen, Complexen etc., das so beschaffen ist, dass eine Bedingung hinreicht, eine endliche Zahl derselben zu bestimmen. Die Elemente werden als durch \(k\) Coordinaten bestimmt betrachtet. Sind diese durch \(k-1\) Gleichungen irgend eines Grades verbunden, so ist die Curve entweder das gesammte Aggregat der gemeinsamen Lösungen dieser Gleichungen, oder, wenn dasselbe sich in algebraisch getrennte Theile zerlegt, so ist die Curve einer dieser Theile. Wendet man jedoch die Sprache der Geometrie an, so ist eine solche Curve der vollständige oder theilweise Durchschnitt von \(k-1\) Oertern im flachen (flat) Raum von \(k\) Dimensionen und kann daher ein \(k\)-flach (\(k\)-flat) genannt werden. Ist eine gewisse Zahl, z. B. \(h\) der Gleichungen linear, so ist es offenbar möglich, in diesen Gleichungen durch eine lineare Transformation \(h\) der Coordinaten zu Null zu machen. Es ist dann rathsam, diese Coordinaten sämmtlich ausser Betracht zu lassen und sich auf die übrigen \(k-h-1\) Gleichungen zwischen \(k-h\) Coordinaten zu beschränken. In diesem Fall wird dann die Curve betrachtet als eine Curve im flachen Raum von \(k-h\) Dimensionen. Wenn also in diesem Falle eine Curve im flachen Raum als von \(k\) Dimensionen angesehen wird, so ist dies so zu verstehen, dass dieselbe in einem flachen Raum von \(k-1\) Dimensionen nicht existiren kann. Die Abhandlung enthält allgemeine Untersuchungen über Curven von gegebener Ordnung in einem flachen Raum, dessen Dimensionenzahl gegeben ist. Nach den vorhergehenden Erläuterungen wird der allgemeine Charakter der Resultate durch einige Beispiele klar werden. Eine eigentliche Curve zweiter Ordnung muss immer eine ebene Curve sein. Wenn sie auch im gewöhnlichen (dreidimensionalen) Raume oder im Raume von 4 oder mehr Dimensionen existirt, so giebt es immer einen zweidimensionalen Raum, der sie enthält. Oder analytisch gesprochen: Die Gleichungen können in allen Fällen reducirt werden auf eine einzige Gleichung \((*\widehat{)(}xy)^2=0\) zwischen zwei der Coordinaten und die übrigen Gleichung \(z=0,w=0\) etc.; der Satz heisst also: Jede Curve von der Ordnung 2 liegt in einem flachen Raume von 2 Dimensionen. So ergiebt sich allgemein der Satz A) des Verfassers: ``Jede eigentliche Curve von der Ordnung \(n\) liegt in einem flachen Raume von \(n\) oder weniger Dimensionen.'' So kann auch eine Curve von der Ordnung 3 in einem Raume von 3 (und nicht weniger als 3) Dimensionen, Punkt für Punkt, dargestellt werden auf einer Curve der Ordnung 2 in einer Ebene, d. h. die Punkte einer nicht ebenen Curve \(3^{\text{ter}}\) Ordnung können eine (1,1) Correspondenz mit denen eines Kegelschnitts haben: oder was dasselbe ist: die nicht ebene cubische Curve ist nothwendiger Weise unicursal. Fasst man dies zusammen, so hat man des Verfassers Satz B): ``Eine Curve der Ordnung \(n\) in einem flachen Raum von \(n\) (und nicht weniger als \(n\)) Dimensionen kann, Punkt für Punkt, auf einer Curve von der Ordnung \(n-k+2\) in einer Ebene dargestellt werden.'' Die Theile der Abhandlung sind: 1) unicursale Curven von der Ordnung \(n\) im \(n\)-dimensionalen Raume, 2) unicursale Curven der Ordnung \(n\) in \(n-1\) Dimensionen, 3) unicursale Curven der Ordnung \(n\) in \(n-k\) Dimensionen, 4) elliptische (oder bicursale) Curve der Ordnung \(n\) in \(n-1\) Dimensionen [Theorie der derivirten Punkte auf einer elliptischen (oder bicursalen) Curve]; Curven vom Geschlecht \(p\); Sätze über Abel'sche Functionen. Beziehungen zwischen der Ordnung und dem Geschlecht einer Curve. Aus diesem letzten Paragraphen mag der Satz erwähnt werden: ``Eine Curve von der Ordnung \(n\) und dem Geschlecht \(p\), das nicht grösser als \(\frac12n\) ist, kann höchstens in \(n-p\) Dimensionen existiren.''