On the classification of surfaces of order three. (Q1553780)

Während der Herr Verfasser in einer früheren Arbeit ``das Pentaeder der Flächen dritter Ordnung beim Auftreten von Singularitäten'' untersucht hatte, schlägt er in der vorliegenden Arbeit den umgekehrten Weg ein, indem er alle diejenigen Flächen aufsucht, welche demselben Pentaeder angehören. Sobald das Pentaeder aus fünf getrennten Ebenen besteht, können unter den betrachteten Flächen nur conische Knoten auftreten, und jede solche Fläche mit conischem Knoten bildet den Uebergang zwischen Flächen, welche zwei verschiedenen der fünf Schläfli'schen Arten angehören, welche sich durch die Realität der 27 Geraden der Fläche unterscheiden, gerade so wie bei Flächen zweiter Ordnung der Kegel den Uebergang zwischen dem einschaligen und dem zweischaligen Hyperboloid bildet. Die Möglichkeit einer hierauf gegründeten Classification beruht auf einem Satze von Herrn F. Klein, wonach alle Flächen ohne Singularitäten, welche derselben Schläfli'schen Art angehören durch continuirliche Aenderung der Constanten in einander übergeführt werden können, ohne dass hierbei ein Knoten auftrete. Kann man nun diese Ueberführung so bewerkstelligen, dass das Pentaeder keine Singularität durchmacht, dass also nicht etwa vier Ebenen durch einen Punkt gehen, so geben Uebergänge durch Knoten, denen immer eine Verbindung \((+)\) oder eine Trennung \((-)\) zweier Theile der Fläche entspricht, alle möglichen Arten ohne Singularitäten. Herr Klein hat dies durch folgendes Schema dargestellt. Geht man aus von einer Fläche mit vier Knoten, an deren jedem man eine Verbindung oder Trennung vornehmen kann, so liefert die Operation \[ \begin{matrix} ++++ &I &\text{Flächen} &\text{mit} &27 &\text{rellen} &\text{Geraden},\\ +++- &II & `` & `` &15 & `` & `` \\ ++-- &III & `` & `` & 7 & `` & `` \\ +--- &IV & `` & `` & 3 & `` & `` &\text{und} &7 &\text{reellen} &\text{Ebenen}\\ ---- &V & `` & `` & 3 & `` & `` &'' &13 &'' &''\end{matrix} \] Diese Operationen lassen sich nun in der Rechnung sehr leicht durchführen, wenn die Gleichung in ihrer canonischen Form gegeben ist, nämlich die linke Seite als eine Summe von fünf Cuben. Die Singularitäten aber, welche auftreten, wenn vier Pentaederebenen durch einen Punkt gehen, wobei dieselben nicht mehr immer eindeutig bestimmt bleiben, bedürfen einer besonderen Discussion. Hierher gehört auch das Zusammenfallen zweier oder mehrerer Pentaederebenen. Bei solchen Flächen treten biplanare Knoten auf. Den Gang der sehr ausgedehnten Discussion skizzirt der Herr Verfasser selbst etwa folgendermassen: Nach einleitenden Betrachtungen über pentaedrische Coordinaten werden die Flächen mit der Gleichungsform \[ \frac{x_1^3}{\alpha^2_1}+\frac{x_2^3}{\alpha_2^2}+\frac{x_3^3}{\alpha_3^2} +\frac{x_4^3}{\alpha^2_4}+\frac{x_5^3}{\alpha_5^2}=0 \] vorausgesetzt, wo \(x_1\) den mit einer Constanten multiplicirten Abstand des Punktes von einer Pentaederebene bedeutet und \(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0\) ist. Da aber Flächen mit biplanarem Knoten in dieser Gleichungsform nicht enthalten sind, so werden Durchgänge durch solche Punkte besonders untersucht. Als Abschluss dieser Untersuchung folgt eine Vertheilung der Knoten, welche dabei auftreten können, in die verschiedenen Kammern, in welche der Raum durch die Pentaederebenen getheilt wird, und die Aufzählung der dabei auftretenden Mannigfaltigkeiten. Es giebt nämlich fünf Tetraederkammern und zehn Pentaederkammern, wenn sämmtliche Ebenen reell sind und man den Raum als durch's Unendliche geschlossen ansieht; sind aber Pentaederebenen conjugirt, so ändern sich diese Beziehungen in leicht erkennbarer Weise. Die isolirten Knoten erfüllen die Tetraederkammern, die nicht isolirten die Pentaederkammern. Complicirter werden diese Gesetze durch die Singularitäten, welche bei dem Pentaeder eintreten können. Es wird dann ein Satz ebgeleitet, mit Hülfe dessen die Gleichungen aller Flächen mit mehrfachen Pentaederebenen aufgestellt werden können. Diese werden alsdann besonders discutirt. Darauf werden die Flächen mit unbestimmtem Pentaeder aufgezählt und untersucht. Den Schluss bildet eine tabellarische Zusammenstellung aller gewonnenen Resultate.