About minimal surfaces. Second essay. (Q1553794)

Die in der ersten Abhandlung über Minimalflächen (Borchardt J. 81, 337--348; s. JFM 08.0528.02) von dem Herrn Verfasser gegebenen allgemeinen Formeln werden hier auf 2 specielle Schaaren von Minimalflächen angewendet. Es sind dies die von Herrn Schwarz (Berl. Monatsber. 1872, p. 25 und 26) sogenannte Enneper'sche Flächenschaar, deren Gleichung die Form \[ h^2Ch(2kx)-k^2Ch(2k'y)=\cos(2kk'z) \] hat (vgl. Gött. Nachr. 1867 p. 297), und die Scherk'sche Flächenschaar mit der Gleichung \[ \cos x=e^z\cdot\cos y \] (vergl. Jablonow Acta. 1832, IV. fasc. II. 205-280 und Crelle J. 13, 185--208). Die Coordinaten eines Punktes dieser Flächen lassen sich auf einfache Weise durch elliptische Functionen zweier Veränderlichen \(\xi,\eta\) darstellen. Für constante Werthe von \(\xi,\eta\) erhält man auf den Enneper'schen Flächen die Krümmungslinien, denen auf den Scherk'schen Flächen die Asymptotenlinien entsprechen; und für constante Werthe von \(\xi\pm\eta\) ergeben sich auf den Enneper'schen Flächen die Asymptotenlinien, auf den Scherk'schen die Krümmungslinien. Auf den Enneper'schen Minimalflächen giebt es zwei Schaaren ebener Curven, deren Bogen ein elliptisches Integral erster Gattung ist, wobei die obere Grenze eine sehr einfache geometrische Bedeutung hat, und der Bogen der Krümmungslinien ist einem eben solchen elliptischen Integral proportional. Von der Scherk'schen Flächenschaar gilt Entsprechendes.