Sur les conditions que doit remplir un espace pour qu'on y puisse déplacer un système invariable à partir de l'une quelconque de ses positions dans une ou plusieurs directions. (Q1553843)

(Siehe auch JFM 10.0575.02) Es seien \(x_i(i=1,2,3\dots n)\) die \(n\) Veränderlichen, welche die Lage eines Punktes in einem ebenen oder gekrümmten Raume von \(n\) Dimensionen bestimmen, und das Quadrat eines Linearelements sei \[ ds^2=\sum_{ij}a_{ij}dx_idx_j, \] wo \(a_{ij}=a_{ji}\) bestimmte Functionen jener Veränderlichen sind. Wenn man nunmehr ein unendlich kleines Dreieck betrachtet, dessen drei Spitzen zu Coordinaten \(x_i,x_i+dx_i,x_i+d'x_i\) haben, so lassen sich die drei Seitenlängen dieses Dreiecks bestimmen, und folglich auch seine Winkel durch die gewöhnlichen Formeln der Trigonometrie. Der Winkel zweier Elemente \(ds\) und \(ds'\), welche von einem Punkte \(M\) auslaufen, ist alsdann durch den Ausdruck definirt \[ ds\, ds'\cos(ds,ds')=\sum_{ij}a_{ij}dx_idx_j'. \] Lässt man eine der Coordinaten des Punktes \(M\) sich verändern, z. B. \(x_i\), so entsteht eine Linie \(\sigma_i\), welche von \(M\) ausläuft, und der Cosinus \(\alpha_i\) des Winkels, den die Elemente \(ds\) und \(d\sigma_i\) bilden, hat zum Ausdruck \[ \alpha_i=\frac1{\sqrt{a_{ij}}}\sum_ja_{ij}\frac{dx_i}{ds}. \] Durch diese Formel lässt sich die Richtung des Elementes \(ds\) mit Hülfe der \(n\) Richtungscosinus \(\alpha_i\) oder durch die \(n\) Quotienten \(\frac{dx_i}{ds}\) angeben. Bezeichnet endlich \(\omega_{ij}\) den Winkel, den zwei Elemente \(d\sigma_i\) und \(d\sigma_j\) mit einander bilden, so erhält man \(\cos\omega_{ij}=\frac{a_{ij}}{\sqrt{a_{ii}a_{jj}}}\), und diese Formel giebt mit \(\frac{d\sigma_i}{dx_i}=\sqrt{a_{ii}}\) in gewissem Sinne eine geometrische Deutung der Coefficienten \(a_{ij}\). Wird nun ein continuirlich bewegliches Gebilde betrachtet, so sind die Zuwachse der Coordinaten \(\delta x_i\) eines Punktes während der Zeit \(\delta t\) in einem bestimmten Augenblick Functionen der Variabeln \(x_i\), so dass \[ \delta dx=d\delta x_i=\sum_k\frac{\partial\delta x_i}{\partial x_k}dx_k. \] Benutzt man diese Relation bei der Differentiation der obigen Gleichung, welche \(\cos(ds,ds')\) definirt, und führt für die linearen Dilatationen \(\frac{\delta ds}{ds}\) und \(\frac{\delta ds'}{ds}\), welche die Elemente \(ds\) und \(ds'\) in der Zeit \(\delta t\) erleiden, die Zeichen \(\lambda\) und \(\lambda'\) ein, so ergiebt sich die Gleichung \[ (\lambda+\lambda')\cos(ds,ds')-\sin(ds,ds')\delta(ds,ds')=\sum_{ij}L_{ij} \frac{dx_i}{ds}\frac{dx'_j}{ds}, \] wo \(L_{ij}\) die Bedeutung hat: \[ L_{ij}=\sum_k \left( \frac{\partial a_{ij}}{\partial x_k}\delta x_k+a_{ik}\frac{\partial\delta x_k}{\partial x_j}+a_{jk}\frac{\partial\delta x_k}{\partial x_i}\right). \] Fallen \(ds\) und \(ds'\) zusammen, so ergiebt sich für die Dilatation \(\lambda\) der Werth \[ \lambda=\frac 12\sum L_{ij}\frac{dx_i}{ds}\frac{dx_j}{ds}. \] Die letzten beiden Formeln umfassen nothwendig die ganze Theorie der Deformation von Gebilden: die zweite giebt die Veränderungen der Längen, die erste die der Winkel. Da aber die Zweite eine Folge der ersten ist, so lässt sich auch die erste allein als die Fundamentalrelation für die ganze Theorie der Deformation von Systemen ansehen. Es mag noch bemerkt werden, dass, wenn \(\lambda_i\) die Dilatation von \(d\sigma_i\) und \(\delta\omega_{ij}\) die Veränderung des Winkels \(\omega_{ij}\) bedeuten, die Gleichungen \[ \lambda_i=\frac{L_{ij}}{2a_{ii}}; \quad (\lambda_i+\lambda_j)\cos\omega_{ij}-\sin\omega_{ij}\delta\omega_{ij}=\frac{L_{ij}}{\sqrt{a_{ii}a_{jj}}} \] den \(L_{ij}\) im gewissem Sinne eine geometrische Deutung geben. Für einen Euklidischen Raum ist, wenn die \(x_i\) als geradlinig rechtwinklige Coordinaten gefasst werden, \(a_{ij}=0, a_{ii}=1\), und daher \[ \lambda=\sum \left(\frac{\partial\delta x_i}{\partial x_j}+\frac{\partial \delta x_j}{\partial x_i}\right) \alpha_i\alpha_j. \] Damit das System unveränderlich in der Form sei, ist nothwendige und ausreichende Bedingung, dass \(\lambda=0\) für jede Richtung des Elementes \(ds\), dass also \[ \frac{\partial\delta x_i}{\partial x_j}+\frac{\partial\delta x_j}{\partial x_i}=0 \] für jedes \(i\) und \(j\). Daraus lässt sich schliessen, dass \(\delta x_i\) eine lineare Function von der Form \(C_i+\sum C_{ij}x_j\), worin \(C_{ij}+C_{ji}=0\). Für den Euklidischen Raum von drei Dimensionen giebt dies die bekannten Formeln für die Verrückung starrer Systeme. Damit ein Gebilde bei der Verrückung in einem Raume starr bleibe, muss die Dilatation \(\lambda\) jedes Linearelementes Null sein. Dies erfordert, dass die \(L_{ij}=0\) seien, oder dass für jedes \(i\) und \(j\) \[ \sum_k\left(\frac{\partial a_{ij}}{\partial x_k}\delta x_k+a_{ik}\frac{\partial\delta x_k}{\partial x_j}+a_{jk}\frac{\partial\delta x_k}{\partial x_i} \right)=0. \] Die in dieser Form enthaltenen \(\frac{n(n+1)}2\) Gleichungen zwischen den \(n\) unbestimmten Functionen \(\delta x_i\) müssen mit einander verträglich sein. Die Untersuchung dieses Gegenstandes bildet den Inhalt der zweiten Note. Sie führt zu dem Resultat: ``Damit ein Raum von der Natur sei, dass ein starres System darin nach einer einzigen Richtung eine Verschiebung zulasse, ist eine nothwendige und ausreichende Bedingung die, dass die quadratische Form, welche in diesem Raum das Quadrat des Linearelementes darstellt, in der Art transformirt werden kann, dass ihre Coefficienten eine ihrer Variabeln verlieren.'' Soll das starre Gebilde nach \(k\) verschiedenen Richtungen verschiebbar sein, so muss jene Form eine solche Transformation zulassen, nicht dass \(k\) ihrer Variabeln, sondern dass auf \(k\) verschiedene Weise eine der Variabeln verschwindet.