Kinematisch-geometrische Theorie der Bewegung der affin-veränderlichen, ähnlich veränderlichen und starren räumlichen oder ebenen Systeme. (Q1553856)

(Siehe auch JFM 10.0587.03) Beide Abhandlungen stehen in einem engen Zusammenhange, insofern sie von denselben Gesichtspunkten ausgehend die Bewegungszustände ähnlich-verändelicher und affin-veränderlicher Systeme untersuchen. Diese Gesichtspunkte erweisen sich als höchst fruchtbar und ermöglichen eine rechte lebendige und klare Anschaulichkeit der betreffenden Bewegungsvorgänge. Auf die zahlreichen und interessanten Einzelnheiten, zu denen der Verfasser im Verlauf seiner Untersuchungen gelangt, einzugehen, gestattet der Raum in dieser Zeitschrift nicht; es kann also nur die Grundlage für seine Entwickelungen gekennzeichnet, und es können nur einige der wichtigsten Gesetze, die sich ihm beim Studium jener Bewegungsvorgänge ergeben, angeführt werden. Die zweite Abhandlung schliesst ihrer Natur nach den Gegenstand der ersten als besonderen Fall in sich; doch mag über beide getrennt referirt werden. In der ersten umfasst die Definition eines ebenen Systems, welches während der Bewegung sich selbst ähnlich bleibt, die eines starren ebenen Systems, in der zweiten der Begriff eines affin-veränderlichen Gebildes alle die besonderen Formen, welche in der Ueberschrift einzeln hervorgehoben sind; insofern daher die besonderen Formen sich nicht durch besondere Merkmale bei den behandelten Bewegungsvorgängen charakterisiren, wird von ihnen nicht, wie es in den Abhandlungen geschehen, die Rede sein. Die Grundlage für die Entwickelungen der ersten Abhandlung bilden zwei Sätze, welche synthetisch durch eine einfache Gedankenreihe gewonnen werden, deren Richtigkeit man natürlich aber auch analytisch unmitttelbar übersicht. Wenn ein ebenes System \(S\) sich so bewegt, dass es während der Bewegung sich selbst ähnlich bleibt, und man stellt in einer bestimmten Phase der Bewegung die Geschwindigkeit des Systempunktes in Grösse und Richtung durch eine Strecke dar, welche von dem betreffenden Systempunkte ausläuft, so bilden die Endpunkte ein System, welches mit \(S\) ähnlich ist. Da dieses mit der betrachteten Phase von \(S\) einen selbst entsprechenden Punkt hat, so giebt es einen Punkt in der Phase, der die Geschwindigkeit Null hat, dieser wird Geschwindigkeitspol genannt. Der analoge Satz gilt für die Beschleunigungen. Stellt man auch sie in Grösse und Richtung durch Strecken dar, welche in der betrachteten Phase von den Systempunkten auslaufen, so bilden ihre Endpunkte ein mit dieser ähnliches System. Der selbst entsprechende Punkt beider hat keine Beschleunigung und wird Beschleunigungspol genannt. Aus dem letzten Satze folgt unmittelbar: die Punkte eines Kreises, welcher den Beschleunigunspol zum Mittelpunkt hat, haben in der betrachteten Phase constante Beschleunigung, und zwar ist dieselbe dem Radius dieses Kreises proportional. Fasst man die Punkte eines Kreises auf, welcher durch den Beschleunigungspol selbst geht, so laufen die Beschleunigungsrichtungen alle durch einen Punkt diese Kreises, die Beschleunigungen der Punkte einer Geraden aber, welche durch den Bescheunigungspol geht, haben parallele Richtung. Von den weiteren Ergebnissen der Untersuchung noch einige: Die Punkte einer Phase, deren Beschleunigung und Geschwindigkeit in einem constanten Verhältnisse stehen, liegen auf einem Kreise, dessen Mittelpunkt auf der Verbindungsgeraden des Geschwindigkeits- und Beschleunigungspols gelegen ist, und welcher diese Strecke harmonisch theilt; der geometrische Ort der Punkte aber, deren Beschleunigung und Geschwindigkeit einen constanten Winkel bilden, ist ein Kreis, der durch jene beiden Pole geht. Die Richtungen der Gechwindigkeiten dieser Punkte laufen durch einen bestimmten Punkt dieses Kreises, den Convergenzpunkt der Geschwindigkeiten; dasselbe gilt von den Richtungen der Beschleunigungen; ihr Durchschnittspunkt wird der Convergenzpunkt der Beschleunigungen geheissen. Ist der Winkel, den Geschwindigkeit und Beschleunigung einschliessen, Null, so ergeibt sich ein besonderer Kreis, welcher diejenigen Punkte der Phase enthält, welche Wendepunkte durchschreiten. Es wird Wendekreis genannt; für ihn fallen die beiden Convergenzepunkte in einen, den Wendepol, zusammen. Ist dagegen jener Winkel \(90^\circ\), so enthält der betreffende Kreis diejenigen Punkte, welche keine Tangentialbeschleunigung haben. Dieser besondere Kreis erhält den Namen ``Lothkreis.'' Nach Einführung dieser Begriffe lassen sich folgende Sätze aussprechen'' ``Der geometrische Ort der Punkte einer Phase, welche constante Normalbeschleunigung besitzen, ist eine Pascal'sche Curve, deren Basiskreis der Wendekreis und deren Doppelpunkt der Geschwindigkeitspol ist. Die Richtungen der constanten Normalbeschleunigungen umhüllen einen Kreis, dessen Mittelpunkt auf dem Wendekreise, dem Wendepol diametral gegenüber liegt.'' ``Der geometrische Ort der Punkte einer Phase, welche constante Tangentialbeschleunigungen besitzen, ist eine Pascal'sche Curve, deren Basiskreis der Lothkreis und deren Doppelpunkt der Geschwindigkeitspol ist. Die Richtungen der constanten Tangentialbeschleunigungen umhüllen einen Kreis, dessen Mittelpunkt der auf dem Lothkreise liegende Convergenzpunkt der Geschwindigkeiten ist.'' Zum Schluss mag noch folgender Satz angeführt werden: ``Die Systempunkte einer Phase, welche auf einem den Wendekreis im Geschwindigkeitspol berührenden Kreise liegen, beschreiben momentan Bahnelemente, deren Krümmungsmittelpunkt auf einem Kreise sich befinden, welcher durch den Geschwindigkeitspol geht.'' Im Anschluss an diese und ähnliche Bewegungsgesetze finden Constructionen mancherlei Art höchst naturgemäss ihre Erledigung. In der zweiten Abhandlung wird synthetisch zunächst der Beweis geführt, dass, wenn man in irgend einer Phase eines sich bewegenden affin-veränderlichen Systems die Geschwindigkeiten der einzelnen Punkte des Systems durch Strecken darstellt, welche ihre Grösse und Richtung angeben, die Endpunkte dieser Strecken ein System bilden, welches mit dem bewegten System affin verwandt ist. Sind demnach vier Punkte, welche nicht in einer Ebene liegen, mit den ihnen zugehörigen Geschwindigkeiten in einer bestimmten Phase gegebene Grössen, so ist zu jedem anderen Punkt die Geschwindigkeit construirbar; denn die affine Verwandtschaft zweier Systeme ist im Allgemeinen durch vier Paar entsprechender Punkte bestimmt. Da zwei affin-verwandte räumliche Systeme ausser der unendlich fernen Ebene drei selbstentsprechenden Ebenen besitzen, welche sich im Allgemeinen in einem im Endlichen liegenden selbstentsprechenden Punkte und in drei selbstentsprechenden Geraden schneiden, so folgt, dass es in der betrachteten Systemphase drei Ebenen giebt, deren Punkte in dem betrachteten Moment sich in ihnen selbst verschieben, drei sich in einem Punkte schneidende Geraden, für welche die Trajectorien ihrer Punkte in sie selbst fallen, und endlich einen Punkt, welcher in dem betrachteten Moment die Ruhe bewahrt. Es wird der Geschwindigkeitspol genannt. Durchaus das Analoge gilt für die Beschleunigungen der Systempunkte und lässt sich auch für die Beschleunigungen höherer Ordnung aussprechen. Aus diesen grundlegenden Theoremen, welche die ganze Frage nach Richtung und Grösse der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen der Systempunkte auf die geometrische Beziehung homologer Punkte zweier affiner Systeme überführen, werden Relationen sehr allgemeiner Natur über diese Geschwindigkeiten und Beschleunigungen hergeleitet. Sie enthalten unter anderen Sätze, zu denen Herr Durrande durch eine analytische Behandlung des Gegenstandes gelangt ist, und lassen einige einfache Beziehungen, die Herrn Mannheim beim Studium der Verrückung starrer Systeme entgegengetreten sind, unter einem besonderen Lichte erscheinen. In Betreff dieser zahlreichen Relationen muss auf die Arbeit selbst verwiesen werden; hier können nur einige Platz finden, welche durh ihre Einfachheit ein besonderes Interesse erregen und zur allgemeinen Characterisirung der Ergebnisse der Arbeit geeignet sind. Es wird gefragt nach dem geometrischen Ort der Systempunkte, welche in einem Moment der Bewegung des affin-veränderlichen Gebildes gleiche Geschwindigkeit besitzen; derselbe ist ein Ellipsoid, dessen Mittelpunkt der Geschwindigkeitspol ist. Für ein ähnlich-veränderliches Gebilde nimmt dieses Ellipsoid die Form eines Rotationsellipsoids an, und für ein starres System tritt ein Rotationscylinder mit gleicher Bedeutung an seine Stelle. Dieselben geometrischen Relationen gelten näturlich auch für die Beschleunigungen der Systempunkte. Eine andere Frage richtet sich darauf, den geometrischen Ort der Punkte zu bestimmen, welche momentan Wendepunkte auf ihren Bahnen durchschreiten. Es zeigt sich, dass dieselben auf einer bestimmten Raumcurve sechster Ordnung enthalten sind, welche durch den Geschwindigkeits- und Beschleunigungspol hindurchführt. Während diese Punkte keine Normalbeschleunigung haben, werden andere Punkte des Systems existiren, welche keine Tangentialbeschleunigung besitzen; sie liegen auf einer Fläche zweiter Ordnung, welche den Geschwindigkeits- und Beschleunigungspol in sich enthält. Von dem Schluss der Arbeit, der in Aussicht gestellt wird, darf man bei den fruchtbaren Gesichtspunkten, von denen sie ausgeht, noch eine Reihe interessanter Ergebnisse erwarten.