Sur la résultante de deux forces appliquées à un seul point. (Q1553884)

Sind \(R_1,R_2,R_3\) drei einen Punkt angreifende Kräfte und bezeichnet man mit \[ [R_1\,R_2],\quad [R_2\,R_3],\quad [R_3\,R_1] \] die Resultanten der resp. Kräfte \(R_1,R_2; R_2,R_3;R_3,R_1\) und mit \[ (R_1\,[R_1\,R_2]),\quad (R_2\,[R_1\,R_2]),\quad (R_2\,[R_2\,R_3]) \] u. s. f. die Winkel zwischen den Resultanten und den resp. zusammensetzenden Kräften, so existirt die Relation: \[ \frac{\sin(R_1[R_1R_2])}{\sin(R_2[R_1R_2])}\cdot\frac{\sin(R_2[R_2R_3])} {\sin(R_2[R_2R_3])}\cdot\frac{\sin(R_3[R_3R_1])}{\sin(R_1[R_3R_1])}=1. \] Diesem Satz hatten Herr Darboux und der Verfasser zum Ausgangspunkte für Beweise des Satzes vom Parallelogramm der Kräfte (siehe Bull. S. M. F. III. und Soc. Math. de Moscou 1876) genommen. In der vorliegenden Notiz nimmt Herr Tchébycheff denselben Satz zum Ausgangspunkt, um ohne Voraussetzung über die Richtung der Resultante zu zeigen, dass \[ \frac{\sin(R_1[R_1R_2])}{\sin(R_2[R_1R_2])}=frac{R_2}{R_1}. \]