Ueber die unendlich kleinen Schwingungen, welche ein Faden, der an dem einen Endpunkte befestigt und an dem anderen durch ein Gewicht belastet ist, unter dem Einfluss der Schwere und einer anfänglichen Gleichgewichtsstörung ausführt. (Q1553960)

Bezeichnet man mit \(s\) die Bogenlänge, mit \(x\) die Masse der Längeneinheit und mit \(\lambda\) die Spannung eines biegsamen, unelastischen Fadens, auf welchen nur in der Richtung der \(z\)-Axe die Schwere wirkt, so ist die Bewegung desselben ausgedrückt durch die Gleichungen: \[ \alpha\frac{\partial^2x}{\partial t^2}ds-d\left(\lambda\frac{\partial x}{ \partial s}\right)=0, \] \[ \alpha\frac{\partial^2y}{\partial t^2}ds-d\left(\lambda\frac{\partial y}{ \partial s}\right)=0, \] \[ \alpha\frac{\partial^2z}{\partial t^2}ds-d\left(\lambda\frac{\partial^2z}{ \partial s}\right)=\alpha yds. \] Dazu treten, wenn der eine Endpunkt \(s=0\) befestigt, der andere \(s=l\) durch ein Gewicht von der Masse \(m\) belastet ist, die Grenzbedingungen: \[ x=0,\quad y=0, \quad z=0 \quad \text{für}\quad s=0, \] \[ m\frac{\partial^2x}{\partial t^2}+\lambda\frac{\partial x}{\partial s}=0, \quad m\frac{\partial^2y}{\partial t^2}+\lambda\frac{\partial y}{\partial s}=0, \] \[ m\frac{\partial^2z}{\partial t^2}+\lambda\frac{\partial z}{\partial s}=my \quad \text{für} \quad s=l. \] Der Verfasser behandelt die Integration dieser Gleichungen unter der Voraussetzung, dass der Faden sich nur wenig aus der Gleichgewichtslage entfernt, dass also \(\frac{\partial x}{\partial s},\frac{\partial y}{\partial s}\) unendlich kleine Grössen erster Ordnung sind, unter Beschränkung auf diese. In der weiteren Untersuchung werden die verticalen Schwingungen nicht weiter berücksichtigt, und beschränkt sich der Verfasser auf die horizontalen unendlich kleine Schwingungen, wobei es auf die Integration der partiellen Differenitalgleichung \[ \frac{\partial}{\partial s}\left\{g(a-\alpha s)\frac{\partial u}{\partial s} \right\}-\alpha\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=0 \] hinauskommt unter der Grenzbedingung \(u=0\) für \(s=0\) und \[ \frac{\partial^2u}{\partial t^2}+g\frac{\partial u}{\partial s}=0 \quad \text{für} \quad s=l. \] Diese Integration wird nun im \S2 der Arbeit mit Hülfe Bessel'scher Functionen erreicht, und dann zur Bestimmung der Constanten geschritten. \S3 und 4 enthalten die Behandlung der Grenzfälle, dass einmal kein schwerer Punkt am Ende des Fadens ist, zweitens die Masse des Fadens als unendlich klein gegen die Masse \(m\) des schweren Punktes am Ende \(s=l\) betrachtet werden kann.