Untersuchungen über das logarithmische und Newton'sche Potential. (Q1554008)

Das erste Capitel dieser Schrift enthält einige Vervollständigungen und Vereinfachungen der allgemeinen Green-Gauss'schen Theorie, sowie auch die Uebertragung derselben auf den Fall der Ebene, d. i. auf den Fall des logarithmischen Potentials. Auch werden die von Gauss und Green gegebenen Beweis hin und wieder durch andere ersetzt, die von grösserer Strenge sind. Das zweite und dritte Capitel enthalten einige Anwendungen der Theorie, so z. B. folgende elektrostatische Sätze: 1. Die elektrische Dichtigkeit auf einem gegebenen Conductor ist (falls keine äusseren Kräfte influiren) stets monogen, d. h. an allen Stellen der Oberfläche von einerlei Vorzeichen. 2. Sind zwei Conductoren beliebig geladen, so wird (falls keine äusseren Kräfte influiren) immer wenigstens auf einem derselben eine monogene Vertheilung anzutreffen sein. Sind insbesondere die beiden Conductoren mit gleich grossen und (dem Vorzeichen nach) entgegengesetzen Ladungen versehen, so finden auf beiden monogene Vertheilungen statt. 3. Sind beliebig viele Conductoren mit beliebigen Ladungen gegeben, so wird (falls keine äusseren Kräfte influiren) immer wenigstens auf einem derselben eine monogene Vertheilung stattfinden, u. s. w. Im vierten Capitel findet man die Theorie der Doppelbelegungen, namemtlich die Discontinuitäts-Untersuchungen des von einer solchen Doppelbelegung ausgeübten Potentials. Dass diese (bisher vollständig vernachlässigte) Theorie der Doppelbelegungen derjenigen der einfachen Belegungen gleichberechtigt zur Seite steht, erkennt man am einfachsten durch einen Blick auf die Green'schen Sätze. Bezeichnet z. B. \(\sigma\) eine geschlossene Fläche, \(d\sigma\) ein Element derselben, ferner \(\nu\) die auf \(d\sigma\) errichtete innere Normale, und bezeichnet endlich \(V\) das Potential irgend welcher ausserhalb \(\sigma\) gelegener Massen, so gilt nach einem Green'schen Satz für jedweden innern Punkt \(i\) die Formel: \[ V_i=\frac1{4\pi}\iint \left(V\frac{\partial T}{\partial\nu}-T\frac{\partial V}{\partial\nu}\right) d\sigma, \] wo \(T\) die reciproke Entfernung des Punktes \(i\) vom Elemente \(d\sigma\) vorstellt. Die Formel aber sagt aus, dass \(V_i\) angesehen werden kann als die Summe zweier Potentiale, von denen das eine, \[ -\frac1{4\pi}\iint T\frac{\partial V}{\partial\nu}d\sigma, \] herrührt von einer gewissen auf der Fläche \(\sigma\) ausgebreiteten einfachen Belegung, während das andere \[ +\frac1{4\pi}\iint V\frac{\partial T}{\partial\nu}d\sigma \] herrührt von einer gewissen ebenfalls auf der Fläche \(\sigma\) ausgebreiteten Doppelbelegung. Auch ist die Theorie der Doppelbelegungen von besonderer Wichtigkeit für die im fünften Capitel entwickelte Methode des arithmetischen Mittels. Diese bereits im Jahre 1870 in ihren Hauptumrissen vom Verfasser angegeben Methode (vgl. dieses Jahrb. Bd. III. p. 493) wird hier zum ersten Mal in ausführlicher Weise exponirt. Ohne auf diese Methode hier genau eingeben zu wollen, mag nur bemerkt sein, dass man mittelst derselben denjenigen Existenzbeweis, der gewöhnlich durch das Dirichtel'sche Princip absolvirt zu werden pflegt, für eine grosse Anzahl von Flächen und Curven mit wirklicher Strenge zu liefern im Stande ist. Das sechste, siebente und achte Capitel enthalten einige sich anschliessende Untersuchungen. So z. B. wird im achten Capitel die Methode des arithmetischen Mittels für den Fall explicirt, dass die auf der Oberfläche, resp. auf der Curve vorgeschriebenen Werthe mit irgend welchen Unstetigkeiten behaftet sind. Endlich findet man im neunten Capitel gewisse Methoden, die (wenigstens ihrer Tendenz nach) verwandt sind mit den schon von Murphy angegebenen combinatorischen Methoden.