Sur le théorie de la propagation de l'électricité dans les conducteurs. (Q1554116)

Unter der Voraussetzung, dass sich die Elektricität nach Art der geleiteten Wärme verbreitet, giebt der Verfasser von der partiellen Differentialgleichung \[ \frac{\partial V}{\partial t}=\alpha^2\cdot\frac{\partial^2V}{\partial x^2} \] in folgender Weise eine particuläre Lösung. Setzt man: \[ V=f(y),\quad y=\frac{\alpha x}{2\sqrt\tau}, \] so ist: \[ \frac{d^2V}{dy^2}+2y\frac{dV}{dy}=0 \] und \[ V=C\int_0^y e^{-y^2}\cdot dy+C' \] Diser Ausdruck kann auf das folgende Problem angewandt werden: Eine Leitung werde an dem einen Ende kurze Zeit \(\tau\) auf das Potential \(V_1\) gebracht und dann zur Erde abgeleitet. Das Potential an einem Punkt der Leitung \(U\) kann dann ausgedrückt werden durch: \[ U=V(t)-V(t-\tau). \] Für eine sehr kleine Zeit \(\tau\) erhält man dann: \[ U=\tau\frac{V_1}{2\sqrt\pi}\frac1{t^{\frac32}}\cdot e^{-\frac{\alpha^2x^2}{4t}}. \] Man kann diesen Vorgang als Fortpflanzung einer einzigen, elektrischen Welle ansehen. Bezeichnet man die Zeit, welche vergeht, bis \(U\) sein Maximum erreicht, mit \(T\), so ist: \[ T=\frac{\alpha^2\cdot x^2}6. \] Diese Zeit kann in gewissem Sinne als Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Elektricität angesehen werden.