Beitrag zu den Grundladen der Invariantentheorie. (Q1554443)

Der Verfasser modificirt den von Aronhold (Borch. J. LXII.) eingeschlagenen Weg, die Invariantentheorie zu begründen. Dieser Weg war folgenden: Man stelle zunächst die Transformationsgleichungen zwischen den Coefficienten \(a_1\ldots a_m\) und \(b_1\ldots b_m\) zweiter homogener Formen \(f\) und \(\varphi, p^{\text{ter}}\) Ordnung und von \(n\) Variabeln, auf, indem man mittelst der linearen Substitution die \(b\) durch die \(a\) ausdrückt; sodann leite man aus diesen \(m\) Gleichungen durch Elimination der \(n^2\) Substitutionscoefficienten die Transformationsbedingungen her. Zu beweisen war dann 1) dass die Zahl dieser Bedingungen \(m-n^2\) wird; 2) dass sich diese Bedingungen in einfachster Form durch Gleichsetzen der absoluten Invarianten beider Formen darstellen. Die Annahme 1) war von Christoffel (Borch. J. LXVIII.) und von Aronhold (ib. LXIX.) für alle allgemeinen Formen, für die \(p>2\), direct bewiesen worden. Sie sagt aus, dass die Transformation zwischen \(f\) und \(\varphi\) eine bestimmte ist, d. h. dass die allgemeinen Formen \(f\) nicht unendlich viele Transformationen in sich zulassen. --Dieser Satz wird nun vom Verfasser wiederum abgeleitet. Soll nämlich eine infinitesimale Transformation \(f\) in sich überführen, so liefert das für \(f\) eine lineare partielle Differentialgleichung mit linearen Coefficienten; was dann auf specielle Formen \(f\) führt. Die von Aronhold erwähnte, durch diese Gleichung gestellte nothwendige Bedingung, dass die Discriminante von \(f\) verschwindet, wird vom Verfasser nicht angeführt. Zum Beweise des Satzes 2) dachte sich Aronhold aus den \(m\) Gleichungen die Substitutionscoefficienten eliminirt. Waren die Resultate Formeln der Art \[ PQ'+P_1Q'_1+\cdots=0, \] wo die \(P,P_1\cdots\) von den \(a\), die \(Q',Q'_1\cdots\) von den \(b\) allein abhängen, so wurden die Verhältnisse der \(P,P_1\cdots\) als absolute Invarianten aufgezeigt; zu ihrer Berechnung indess ein System simulanten partieller Differentialgleichungen aufgestellt. Statt dessen eliminirt H. Veltmann aus denn Transformationsgleichungen auch noch so viele Coefficienten \(a\) als möglich; wenn dann die eine resultirende Gleichung wird: \[ \varphi_0(a_1\cdots a_q, b_1\cdots b_m)+ \varphi_1(a_1\cdots a_q, b_1\cdots b_m)a_{q+1} +\cdots+\varphi_h(a_1\cdots a_q, b_1\cdots b_m)a^h_{q+1}=0, \] so sollen die Quotienten \[ \frac{\varphi_i}{\varphi_h}\quad (i=0\cdots h-1), \] in welche die \(a_1\cdots a_q\) als Constanze zu betrachten sind, die absoluten Invarianten der Form \(\varphi\) vorstellen und zwar alle. Dass sie absolute Invarianten sind, folgt unmittelbar aus den Transformationsgleichungen und dem Begriffe der linearen Transformation, da man für \(a_{q+1}\cdots a_m\) keine anderen Lösungen erhalten kann, wenn man \(a_1\cdots a_q\) bestimmt hat und für \(b_1\cdots b_m\) die Coefficienten irgend einer transformirten Form von \(f\) einsetzt. Der umgekehrte Beweis aber, p. 288, dass aus der Gleichheit von \(a_1,a_2\cdots a_q,a_q+1\) auch die von \(a_{q+2}\cdots a_m\) folge, scheint nicht völlig klar, so dass auch der Schluss, dass jene Quotienten die genügende Zahl absoluter Invarianten darstellen, noch nicht vollständig begründet ist.