Binäre Formen mit verschwindenden Covarianten. (Q1554450)

Wendet man alle Transformationen einer Gruppe von linearen Transformationen einer Veränderlichen auf irgend einen Werth der Variabeln an, so erhält man eine binäre Form, welche durch die Gruppe in sich übergeht. Diese Formen sind von Klein (vgl. JFM 07.0053.02) untersucht; sie treten aber vermöge ihres Ursprungs auch in der Theorie der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, deren Lösungen algebraisch sind, auf; und Herr Fuchs hat (Borchardt J. 81) auf sie hingewiesen. Daselbst hat Fuchs noch eine andere Eigenschaft einer solchen Form niedrigsten Grades, der Primformen, angezeigt: dass alle ihre Covarianten (etwaige irrationale inbegriffen), die von niedrigerem Grade als der Form selbst sind, identisch verschwinden. Durch diese Eigenschaft definirt Herr Gordan hier die Formen und ermittelt ihre Ausdrücke. Seiner gewohnten Terminologie zufolge, nach welcher unter Covarianten rationale Functionen der Coefficienten der Form verstanden werden, stellt Gordan das Problem so: alle binären Formen \(n^{\text{ten}}\) Grades zu finden, für welche alle Ausdrücke von einem Grad <\(n\) verschwinden, die eine Covariante zur ersten oder höheren Potenz haben. Hierdurch werden z. B. gewisse Formen ausgeschlossen, die einen linearen Factor in einem höhern Potenz enthalten. Zunächst wird, für \(n>4\), nachgewiesen, dass die bekannten Primformen niedrigstet Grades, von der \(6^{\text{ten}}\) und \(12^{\text{ten}}\) Ordnung, das Oktaeder und das Ikosaeder, die genannte Eigenschaft besitzen, indem ihr vollständiges System aufgestellt wird. Sodann wird gezeigt, dass, für \(n>4\), auch keine weitere solche Formen existiren. Es genügt zum Beweis einmal die Betrachtung der Covarianten zweiter Ordnung (in der Coefficienten), sodann derjenigen Covarianten niedrigstet Grades, \(p_x^{\mu+1}\), für welche die letzte Ueberschiebung mit der Form \(f\) \[ (f, p)^{\mu+1} \] identisch verschwindet. Die Formen \(p\) sind schon aus der Zerlegung von \(f\) in Potenzsummen bekannt. Hier werden die Ueberschiebungen von \(f\) über die Potenzen der linearen Factoren von \(p_x^{\mu+1}\) betrachtet, was Darstellungen von \(f\) durch diese Factoren liefert, und damit die kanonischen Formen der \(f\), gerade die beiden bekannten Formen \(6^{\text{ten}}\) und \(12^{\text{ten}}\) Grades.