Ueber die Entwickelung von einigen Covarianten der binären Formen. (Q1554462)

Auszug aus einer Abhandlung, die vom Verfasser der Gesellschaft der Wissenschaften zu Helsingfors (Method att härleda relationer mellan binära formers covarianter'') eingereicht wurde. Die Bezeichnungen sind der Gordan'schen Abhandlung (``Ueber die Bildung der Resultante zweier Gleichungen'', Clebsch. Ann. III.) entnommen. Es sei \(f\) eine binäre Form \(n^{\text{ten}}\) Grades, \(\alpha\) die Hesse'sche Covariante derselben, \(\beta, \gamma\) die zwei nächsten Elementarcovarianten, \(T\) die Functiondeterminante von der Grundform mit ihrer Hesse'schen Covariante und allgemein \((\varphi, \psi)^h\) die \(h^{\text{te}}\) Ueberschiebung der Form \(\varphi\) über eine andere \(\psi\). Die zwei Hauptformeln des Verfassers lauten dann folgendermassen: \[ (1)\quad(\alpha,\alpha)^2=\frac{n-5}{6(2n-9)}f^2\gamma-\frac{1}{2(2n-5)}\alpha\beta-\frac{1}{3}f.(f,\beta)^2, \] \[ (2)\quad T^2=-\frac{1}{2}(\alpha^3-\frac{1}{2}\alpha\beta f^2-\frac{1}{3}(f,\beta)^2f^3+\frac{n-5}{6(2n-9)}\gamma f^1). \] Die erste giebt die Hesse'sche Covariante von der Hesse'schen Covariante durch niedere Formen ausgedrückt; die zweite wird aus der ersten abgeleitet, und drückt die Functionaldeterminante \(T\) durch dieselben Formen aus.