Approximation of a linear expression by two polynomials. (Q1554586)

In dem Briefe an Braschmann (Liouville J. (2) 10) hat der Verfasser ein Verfahren angegeben, durch welches zwei Polynome \(X, Y\), bei denen der Ausdruck \(uX-Y\) möglichst wenig von einer gegebenen Function \(v\) abweicht, gefunden werden können. Dazu ist es nöthig, die Function \(u\) in einen Kettenbruch \[ q_0=\frac{1}{q_1+}_{\tfrac{1}{q_2+}_{\cdots}} \] zu entwickeln und die Näherungsbrüche \[ \frac{P_1}{Q_1}=\frac{q_0}{1},\;\frac{P_2}{Q_2}=\frac{q_1q_0+1}{q_1}, \cdots\text{etc}. \] zu bilden; sodann werden die gesuchten Polynome \(X, Y\) durch folgende Reihen dargestellt \[ (1)\quad \left\{\begin{aligned} & X=\omega_1Q_1+\omega_2Q_2+\omega_3Q_3+\cdots \\ & Y=-Ev+\omega_1P_1+\omega_2P_2+\omega_3P_3+\cdots, \end{aligned}\right. \] wo \[ \omega_i=(-1)^{i-1}E(q_iF(vQ_i)) \] ist, und die Zeihen \(E\) und \(F\) den ganzen Theil und den Bruch-Theil einer Function bezeichnen. Für den Beweis sehe man die Abhandlung des Verfassers im 9. Bande der Abhandlungen der St. Petersb. Academie der Wissenschaften (Russisch) unter dem Titel: ``Ueber die Entwickelung der Functionen in Reihen mit Hülfe der Kettenbrüche.'' Bricht man die Reihen (1.) an den correspondirenden Gliedern \(\omega_mQ_m, \omega_mP_m\) ab, so erhält man ein System zweier Polynome \(X, Y\) von denen das erste einen nicht höheren Grad als \(Q_{m+1}\) besitzt und der Grad der Differenz \(uX-Y-v\) erreicht dann den kleinsten Werth, den er nur haben kann bei der oben aufgestellten Grenze für den Grad des Polynoms \(X\). Soll nun der Ausdruck \(uX-Y\), wo der Grad von \(X\) nicht grösser als \(M\) ist, die Function \(v\) bis auf Glieder von der \((-N)^{\text{ten}}\) Ordnung darstellen, so sind dazu folgende Bedingungen nothwendig und hinreichend: \[ (3)\quad \left\{\begin{aligned} & \omega_{m+1}=0,\;\omega_{m+2}=0,\dots\;\omega_{m+n-1}=0 \\ & \delta\omega_m\leqq\delta\frac{x^M}{Q_m},\;\delta\omega_{m+n}\leqq\delta\frac{Q_{m+n-1}}{x^N}, \end{aligned}\right. \] wo dass Zeihen \(\delta\varphi\) den Grad der Function \(\varphi\) bezeichnet; \(Q_m\) und \(Q_{m+n}\) sind die letzten von denjenigen Gliedern der Reihe \[ Q_1,\quad Q_2,\quad Q_3 \ldots\text{etc}., \] deren Grade die Zahlen \(M\), respective \(N-1\) nicht übersteigen. Diese Bedingungen können durch folgende, einfachere, ersetzt werden \[ (4)\quad \delta F(vQ_{l-1})\leqq\delta\frac{x^M}{Q_l},\quad\delta F(vQ_l)\leqq\delta\frac{Q_l}{x^N}. \] Hier sind \(Q_{l-1}\) und \(Q_l\) die zwei letzten von denjenigen Gliedern der obigen Reihe, deren Product von einem kleiern Grade als \(M+N\) ist. Der Beweis, dass die Formelsysteme (3.) und (4.) gleichwerthig sind, umfasst den grössten Theil der vorliegenden Abhandlung.