On the product \(1^1.2^2.3^3\ldots n^n\). (Q1554666)

Es wird bewiesen, dass, wenn \(n\) sehr gross, \[ 1^1.2^2.3^3\ldots n^n=A.e^{-\frac 14 n^2} n^{\frac 12 n^2+\frac 12 n+\frac 1{12}} , \] wo \[ A=2^{\frac 1{36}} \pi^{\frac 16}\text{exp.}\frac 13 (-\frac 14 \gamma +\frac 13 S_2-\frac 14 S_3 +\frac 15 S_4-\dotsm ). \] \(\gamma\) ist die Euler'sche Constante \(0,57721\ldots ,\) \[ S_r=1+\frac 1{3^r} +\frac 1{5^r} +\frac 1{7^r}+\dotsm \] exp. \(u\) hat dieselbe Bedeutung, wie \(e^u\). Ferner wird noch bewiesen, dass \[ A=2^{\frac 1{36}}.\pi^{-\frac 16}\text{exp.} \left\{ \frac 13 +\frac 23 \int_0^{\frac 12} \log\varGamma (1+x)dx \right\} . \] Der numerische Werth von \(A\) auf 9 Stellen ist \[ 1,282427130\ldots \]