The cyclic and logarithmic periods of the quadratrice of an algebraic curve of degree \(m\) are the products by \(2\pi\sqrt{-1}\) of the roots of an algebraic equation of degree \(m\), which one can always obtain and of which the coefficients are rational functions of those of the equation of the proposed curve. (Q1554803)

Sind die Asymptoten einer Curve vom Grade \(m\) \[ y-a_1 x+b_1=0, \ldots y-a_m x+b_m=0, \] und wird die Gleichung der Curve auf die Form gebracht \[ (y-a_1 x+b_1)\ldots (y-a_m x+b_m)+x^{m-2} \varphi_{m-2} \left( \frac yx,1 \right) +x^{m-3} \varphi_{m-3} \left( \frac yx, 1 \right)+\cdots =0, \] so sind die \(m\) cyklischen Perioden von \( \int ydx\) (vgl. F. d. M. V. 224, JFM 05.0224.04) die \(m\) Werthe von \(2\pi\sqrt{-1}\) \[ \frac {\varphi_{m-2} (a,1)}{ \varphi_m'(a,1)} \text{ für } a=a_1 \ldots a_m, \] wo \[ \varphi_m(y,x)=(y-a_1 x) \ldots (y-a_m x). \] Es wird nun gezeigt, dass diese Werthe Wurzeln einer Gleichung \(m^{\text{ten}}\) Grades sind, deren Coefficienten sich rational durch die Coefficienten der Glieder \(m^{\text{ter}}\), \(m-1^{\text{ter}}\) und \(m-2^{\text{ter}}\) Dimension der Gleichung der Curven ausdrücken lassen.