On the roots of the fundamenal equation associated with a singular point of a linear differential equation. (Q1554806)

In der ersten Arbeit (JFM 09.0289.02) wird ein Verfahren angegeben, wonach man das Verhalten einer beliebigen mehrdeutigen Function, welche mit Ausnahme einzelner singulären Punkte (Verzweigungs- oder Unstetigkeitspunkte) eindeutig und stetig ist, in der Umgebung dieser Punkte stets bestimmen kann, wenn 1) die Lage der singulären Punkte selbst bekannt ist, und 2) die Werthe der Function und aller ihrer Ableitungen in inf. in einem Punkte der Umgebung des betrachteten singulären Punktes gegeben sind. Beide Voraussetzungen finden sich bei den Functionen erfüllt, die durch lineare Differentialgleichungen beliebiger Ordnung definirt sind, deren Coefficienten ein- oder mehrdeutige Functionen von \(x\) sind. Man ist daher insbesondere in den Stand gesetzt, das Verhalten dieser Integrale in der Umgebung eines singulären Punktes \(a\) auch in dem allgemeinen Falle anzugeben, wo nach einem Satze des Herrn Fuchs die Reihen für die Integrale positive und negative Potenzen von \(x-a\) in unendlicher Anzahl enthalten, für deren Coefficienten indess bisher eine Darstellung noch nicht gegeben worden ist. Die allgemeine Methode ist folgende: Es sei \(x=0\) ein singulärer Punkt der betrachteten Function \(f(x)\) und \(\varrho\) die Entfernung des nächst gelegenen singulären Punktes vom Nullpunkte. Man setzt \(x=e^z\), dann entspricht \(x=0, z= -\infty\) und dem nächstgelegenen singulären Punkte in der \(x\)-Ebene \(x=\varrho e^{\varphi i}\) die Werthe \[ z=\sigma + (\varphi+2k \pi)i, \] wo \(\sigma\) den reelen Werth von log \(\varrho\) und \(k\) eine beliebige ganze Zahl bezeichnet. Die diese Werthe repräsentirenden Punkte in der \(z\)-Ebene liegen in einer auf der reellen \(z\)-Achse senkrechten durch den Punkt \(z=\sigma\) gehenden Geraden \(A\) und die den übrigen singulären Punkten der \(x\)-Ebene entsprechenden Punkte der \(z\)-Ebene befinden sich sämmtlich auf der positiven Seite der Geraden \(A\). Die Function \( y=f(x)=f(e^z)\), als Function von \(z\) betrachtet, ist daher in allen Punkten der Halbebene der \(z\) auf der negativen Seite von \(A\) eindeutig und stetig, und kann daher in der Umgebung jedes Punktes \(z_0\) auf diesem Gebiete durch convergirende Potenzreihen von der Form \[ (1) \quad y_0+\left( \frac {dy}{dz} \right)_{z=z_0} (z-z_0) +\left( \frac {d^2y}{dz^2} \right)_{z=z_0} \frac {(z-z_0)^2} {2!} +\cdots \] dargestellt werden. Nun ist \(\frac {d^ky} {dz^k}\) aus den Grössen \[ y,x \frac{dy} {dx}, \cdots x^k \frac {d^ky} {dx^k} \] rational und zwar durch Multiplication mit Zahlencoefficienten und Addition zusammengesetzt. Die Coefficienten in der obigen Entwickelungsreihe sind demnach eindeutig bekannt, wenn, wie wir voraussetzen, die Werthe von \(y\) und allen ihren Ableitungen nach \(x\) für \(x=x_0\) gegeben sind. Wählen wir jetzt für \(x_0\) einen Werth, dessen absoluter Betrag \(|x^0|< \varrho e^{-2\pi}\) ist, dann wird die Gerade in der \(z\)-Ebene, auf welcher die entsprechende Punktreihe \(z=z_0+2 \lambda\pi i\) sich befindet, auf der negativen Seite der Graden \(A\) und von derselben um eine Strecke entfernt sein, deren Betrag grösser als \( 2\pi\) ist. Ein Kreis um den Punkt \(z_0\) in der \(z\)-Ebene mit dem Radius \(2\pi\) beschrieben, enthält daher weder auf seinem Umfange noch in seinem Innern einen der singulären Punkte der \(z\)-Ebene, und die Reihe (1) convergirt daher noch für \( z=z_0 +2\pi i\) und stellt nach dieser Substitution den Werth \(y_0\) dar, welchen \(y\) im Punkte \(x_0\) nach einem einmaligen, keinen der übrigen singulären Punkte einschliessenden Umlauf um den Nullpunkt der \(x\)-Ebene annimmt. Da die aus (1) durch Differentiation nach \(z\) entstehenden Reihen in demselben Bereiche wie die ursprüngliche Reihe gültig sind, so erhält man: \[ (2) \quad \overline{y_0}= \sum^{k=\infty}_{k=0} \left( \frac {d^k y} {dz_k} \right)_0 \frac{(2\pi i)^k}{k!}, \cdots \left( \overline{ \frac{d^{\nu} y}{ dz^{\nu}}} \right)_0 = \sum^{k=\infty}_{k=0} \left( \frac {d^{k+\nu} y} {dz^{k-\nu}} \right)_0 \frac{(2 \pi i)^k} {k!},\cdots, \] wodurch das Verhalten der Function \(y\) bei einem Umgang um den Nullpunkt der \(x\)-Ebene charakterisirt ist. Bei der Anwendung auf Functionen, die linearen homogenen Differentialgleichungen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung zunächst mit eindeutigen Coefficienten genügen und die \(x=0\) zum singulären Punkt haben, genügt es zur Kenntniss ihres Verhaltens in der Umgebung des Nullpunktes die \(n\) ersten der Formeln (2) für je \(n\) von einander unabhängige partikuläre Integrale zu berechnen; es läst sich alsdann namentlich die zum Nullpunkt gehörige Fundamentalgleichung, die Herr Fuchs in der Theorie der linearen Differentialgleichungen eingeführt hat, in allen Fällen aufstellen. Auch wird ein Weg angegeben, die Integrale eines Fundamentalsystems in der von Herr Fuchs zuerst aufgestellten Form \[ y=x^r (\varphi_0+\varphi_1 \log x+\cdots+\varphi_{\mu} (\log x)^{\mu}) \] zu entwickeln, wo die \(\varphi\) nach ganzen positiven und negativen Potenzen von \(x\) fortschreitende Reihen bezeichnen. Zum Schluss werden noch lineare Differentialgleichungen mit mehrdeutigen Coefficienten betrachtet und für das Verhalten ihrer Integrale in der Umgebung der singulären Punkte die Formeln entwickelt. In der zweiten Note werden die Coefficienten der oben erwähnten Fundamentalgleichung dadurch ermittelt, dass man die Summen gleich hoher Potenzen ihrer Wurzeln \(\omega_1\ldots \omega_n\) direct durch convergente Reihen darstellt. Es ist nämlich, wenn man vermöge der gegebenen Differentialgleichung sämmtliche Ableitungen von \(y\) nach log \(x\) auf die Form \[ \frac {d^ky}{(d\log x)^k} = \varphi^k_1(x)y+\varphi^k_2(x)\frac {dy} {d\log x}+\cdots + \varphi^k_n(x)\frac {d^{n-1}y} {(d\log x)^{n-1}} \] bringt, \[ \omega^{\lambda}_1+\omega^{\lambda}_2 +\cdots +\omega^\lambda_n =\sum ^{k=\infty}_{k=0} \left\{ \varphi^k_1(x_0)+\varphi^{k+1}_2 (x_0)+\cdots +\varphi^{k+n-1}_n(x_0) \right\} \frac {(2\lambda\pi i )^k} {k!} , \] wo für die Convergenz der Reihe rechts nur nöthig ist, \(x_0\) so zu wählen, dass \( 0<|x_0|< \varrho e^{-2\lambda\pi i}\); der Werth der Reihe ist von \(x_0\) unabhängig.