On the Lagrange interpolation formula. (Extract from a letter to Mr. Borchard.) (Q1554829)

Das Schreiben enthält eine Verallgemeinerung der Lagrange'schen Interpolationsformel. Der Herr Verfasser stellt sich die Aufgabe, ein ganzes Polynom \(F(x)\) vom Grade \(n-1\) zu finden, welches den Bedingungen \[ \begin{matrix} \l\\ F(a)=f(a),F'(a)=f'(a)\ldots F^{\alpha-1}(a)=f^{\alpha-1}(a),\\ F(b)=f(b),F'(b)=f'(b)\ldots F^{\beta-1}(h)=f^{\beta-1}(b),\\ \hdotsfor1\\ F(l)=f(l),F'(l)=f'(l)\ldots F^{\lambda-1}(l)=f^{\lambda-1}(l)\end{matrix} \] genügt, wo \(f(x)\) eine gegebene Functionen von \(x\) ist. Für \[ \alpha+\beta+\cdots+\lambda=n \] ist die Aufgabe bestimmt. Ist nun \(f(x)\) innerhalb eines Bereiches \(S\), in dem \(a,b,\ldots l\) und \(x\) liegen, eindeutig und ohne einen singulären Punkt, so besteht die Gleichung: \[ F(x)-f(x)=\frac {1}{2i\pi} \int_S \frac {f(z)(x-a)^{\alpha}(x-b)^{\beta} \ldots (x-l)^{\lambda} }{ (x-z(z-a)^{\alpha} (z-b)^{\beta} \ldots (z-l)^{\lambda}}\;dz = \frac {1}{2\pi i} \int_S \frac {f(z)\varPhi(x)dz} {(x-z)\varPhi(z)}. \] Aus dieser Form ist zugleich ersichtlich, dass die Differenz zwischen der Function und dem Interpolations-Polynom immer kleiner wird, je grösser die Zahl der \(a,b,\ldots l\) oder die Exponenten \(\alpha,\beta,\ldots \lambda.\) Die hier angewandte Betrachtung ist dieselbe, welche bei dem Beweis der Convergenz der Taylor'schen Reihe (d. h. bei dem Falle \(\varPhi(x)=(x-a)^{\alpha}\)), für imaginäre Werthe der Variablen angestellt wird. Im Folgenden betrachtet dann der Herr Verfasser den Fall: \[ \varPhi(x)=(x-a)^{\alpha} (x-b)^{\beta}. \] Hier giebt das Integral \[ \int_a^b F(x)dx \] für den angenäherten Werth der Quadratur \[ \int_a^b f(x)dx \] ein sehr einfaches Resultat. Die Differenz zwischen dem Integral und seinem angenäherten Werth ist \[ \frac {(-1)^m} {1.2\ldots m} \int^b_a f^m(x)(x-a)^{\beta} (x-b)^{\alpha} dx. \] In einer Nachschrift bemerkt der Herr Verfasser, dass man zu dem Interpolations-Polynom auch ohne Anwendung imaginärer Variabeln und ohne Integration längs krummer Linien gelangen kann, und zwar durch Betrachtung vielfacher Integrale. Das Endresultat lautet: \[ f(x)-F(x) =\frac {\varPhi(x)} {\varGamma(\alpha)\varGamma(\beta)\ldots \varGamma(\lambda)} \int^1_0 dt_n \int^{t_n}_0 dt_{n-1}\ldots \int^{t_2}_0 f^{\alpha+\beta+\ldots+\lambda} (u)\theta dt_1, \] wo \[ \theta=(t_2-t_1)^{\alpha-1} (t_3-t_2)^{\beta-1}\ldots (1-t_n)^{\lambda-1} \] und der Werth von \(u\) unter folgender Form sich darstellen lässt: \[ u=xt_1+a_1(t_2-t_1)+a_2(t_3-t_2)+\cdots+a_{n-1} (t_n-t_{n-1})+a_n(1-t_n). \]