A contribution of teaching manifolds. (Q1554905)

Als wesentliches Merkmal einer \(n\)-fach ausgedehnten stetigen Mannigfaltigkeit wird nach dem Vorgange von Riemann und Helmholtz angenommen, dass ihre Elemente von \(n\) unabhängigen, stetigen Variablen abhängen, sodass jedem Elemente ein bestimmtes Werthsystem, und umgekehrt, entspricht. Hierbei wird stillschweigend vorausgesetzt, dass auch die Correspondenz der Elemente und dieser Werthsysteme eine stetige sei, so dass eine unendlich kleine Aenderung des Elements eine ebensolche der Variablen zur Folge habe. Herr Cantor zeigt nun, dass, wenn man diese letztere Annahme fallen lässt, die Elemente einer \(n\)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit sich durch weniger als \(n\), ja sogar nur durch eine einzige Variable bestimmen lassen, woraus weiter folgt, dass Gebilde von beliebig vielen Dimensionen eindeutig und vollständig auf einander bezogen werden können. Die Untersuchung geht aus von der Thatsache, dass zu jeder Irrationalzahl eine bestimmte unendliche Reihe ganzer positiver Zahlen (nämlich die Nenner der Kettenbruch-Entwickelung) gehört, worauf gezeigt wird, dass eine Variable \(e\), welche alle irrationalen Werthe zwischen 0 und 1 durchläuft, sich einer anderen Variablen \(x\) zuordnen lässt, welche alle reellen Werthe desselben Intervalls annimmt. Am Schluss folgt noch ein kürzerer Beweis des eben erwähnten Satzes, eine Erweiterung der Betrachtung auf Mannigfaltigkeiten mit unendlich vielen Dimensionen, und Ausblicke auf weitere ähnliche Untersuchungen. An den Stellen, wo die Betrachtung sich auf geometrischem Boden bewegt, erinnert sie mehrfach an die Anschauungen der Ausdehnungslehre.