Thibaut`s proof concerning the eleventh axiom. (Q1554924)

Im ersten Theile der Arbeit wird eine kritische Uebersicht über die auf consecutiven Drehungen eines Strahles beruhenden Beweise gegeben, wobei sich herausstellt, dass der erste, von Thibaut gegebene Beweis dieser Art von den folgenden entweder gar nicht oder nur scheinbar an Schärfe übertroffen wird. Es wird dann darauf aufmerksam gemacht, dass die Principien der Ausdehnungslehre, welche die Geometrie des Weltraumes als concrete Anwendung ihrer abstracten Sätze (nicht bloss als Unterfall) in sich schliesst, einen rechnerischen Beweis liefern, von welchem der Thibaut'sche das genaue geometrische Abbild ist. Im zweiten Theile stellt der Verfasser fest, dass die sämmtlichen besprochenen geometrischen Beweisversuche auf einer unbewiesenen Voraussetzung beruhen, dass also die Annahme eines Axioms unerlässlich erscheine, dass aber die Form desselben bei den meisten Autoren eine verschiedene sei. Die vom Verfasser vorgeschlagene Fassung desselben lautet: ``Eine aus ihrer ursprünglichen Richtupg herausgerückte und dann in ein und derselben Ebene willkürlich bewegte Gerade hat, sobald sie in ihre Anfangslage zurückgelangt ist, jedenfalls eine Drehung von \(m\) vollen Winkeln (\(=360^\circ\)) zurückgelegt; unter \(m\) eine willkürliche ganze Zahl verstanden''. In ihr ist das kinematische Princip des Thibaut'schen Beweises zum Ausdruck gebracht. Weiter wird darauf hingewiesen, dass B. Erdmann (Axiome der Geometrie, Leipzig 1877) zu dem Resultate gelangt, dass die euklidische Geometrie des Raumes nur folgende drei Axiome erfordere: der Raum ist eine 1) dreifach ausgedehnte, 2) in sich congruente, 3) ebene oder unendliche Mannigfaltigkeit. (Hierzu ist noch zu bemerken, dass dieselben drei Axiome bereits von Grassmann, Ausdehnungslehre von 1844, \(\S\) 22 als nothwendig und hinreichend erkannt worden sind.) Zu diesen müssen dann noch zwei, speciell für die Ebene gültige, treten, nämlich das oben erwähnte, und dasjenige, welches die Bestimmung der Geraden durch zwei Punkte ausspricht. Am Schlusse spricht der Verfasser die Hoffnung aus, dass die Geometrie des Raumes künftig ein Mittel für den Beweis des \(11^{\text{ten}}\) Axioms liefern werde, und verweist auf den von ihm in dieser Richtung gemachten Versuch in Battaglini G. XI. 11.