Eine geometrische Ableitung der Polareigenschaften der ebenen Curven. (Q1555047)

Der Herr Verfasser sagt in einem Vorwort, dass er die Polareigenschaften der ebenen Curven auf geometrischem Wege zu begründen versuchen wolle, wobei nur einige Fundamentalsätze der Algebra entlehnt werden, so dass die Anwendung der letzteren auf ein kleineres Feld als früher eingeschränkt wird. Die Methode ist die, die Polareigenschaften der Curven \(n^{\text{ter}}\) Ordnung als bekannt vorauszusetzen und aus ihnen diejenigen der Curven \((n + l)^{\text{ter}}\) Ordnung abzuleiten. Die vorangestellten Fundamentalsätze sind nun: I. Durch \(\frac 12 n(n + 3)\) von einander unabhängige Punkte geht immer eine und nur eine Curve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung. Geht durch \(\frac 12 n(n+3)\) Punkte mehr als eine solche Curve, so geht durch diese Punkte eine einfache Unendlichkeit derselben, d.h. durch jeden weiteren Punkt geht immer eine und im Allgemeinen nur eine solche \(C_n\). II. Eine \(C_m\) und eine \(C_n\) schneiden sich in \(m.n\) Punkten. III Sind die Punkte einer Geraden so auf einander bezogen, dass jedem Punkte derselben einmal \(m\) Pünkte und das andere Mal \(n\) Punkte eindeutig entsprechen, so fallen \(m + n\) Punkte mit einem ihrer entsprechenden zusammen. Fallen mehr Punkte mit ihren entsprechenden zusammen, so fällt jeder Punkt mit einem seiner entsprechenden zusammen. Aus diesen Sätzen wird nun durch rein geometrische Betrachtungen das Curvenbüschel \(n^{\text{ter}}\) Ordnung und auch das Curvennetz \(n^{\text{ter}}\) Ordnung definirt und näher charakterisirt. Dann folgt die Erzeugung von Curven \((n + 1)^{\text{ten}}\) Grades aus einem Strahlbüschel und einem Curvenbüschel \(n^{\text{ten}}\) Grades und hierauf das zur Polarentheorie Gehörige, was in der Arbeit selbst nachzusehen ist.