About fourth order rational curves. (Q1555132)

Der Zweck dieser Abhandlung ist einmal, gewisse Aufgaben über Doppeltangenten und Wendetangenten, welche für allgemeine Curven vierter Ordnung noch ihrer Lösung harren, für den speciellen Fall der rationalen Curven zu erledigen, und die bezüglichen Rechnungen möglichst weit durchzuführen, und dann eine erschöpfende Uebersicht über die Hauptformen dieser Curven zu geben. Nachdem zuerst gezeigt ist, wie man aus den Ausdrücken der Coordinaten als ganzen Funktionen eines Parameters Gleichungen für die den Doppelpunkten entsprechenden Parameterwerthe ableiten kann, wird das Coordinatendreieck mit dem Dreieck der Doppelpunkte identisch angenommen, wodurch die Ausdrücke der Coordinaten die Gestalt erhalten \[ x_1:x_2:x_3=f_2 f_3:f_3 f_1:f_1 f_2, \] wo die \(f\) ganze Funktionen zweiten Grades von \(\lambda\) sind. Mit Benutzung canonischer Formen werden nun zuerst die Gleichungen für die Wendepunkte und die Berührungspunkte der Doppeltangenten hergeleitet und dieselben dann durch die simultanen Invarianten und Covarianten der drei Funktionen \(f_1 f_2 f_3\) dargestellt, wobei sich einfache Formeln ergeben, aus welchen der schon von Salomon bewiesene Satz folgt, dass die Berührungspunkte der Doppeltangenten auf einem Kegelschnitte liegen. Nach Aufstellung der Curvengleichung in homogenen Coordinaten und Discussion specieller Fälle wird die Gleichung in der canonischen Form der Functionen \(f\) lässt einen wichtigen Faktor der Discriminante dieser Gleichung hervortreten, der auch durch das simultane Formensystem eine einfache Darstellung gestattet, und daran knüpft sich die Zerlegung der Discriminante in Faktoren, welche mit den Namen: Undulationsfaktor, Cuspidalfaktor, Spaltungsfaktor erster und zweiter Art bezeichnet werden, weil ihr Verschwinden das Auftreten eines Undulationspunktes, resp. eines Rückkehrpunktes oder das Zerfallen in Gerade und eine Curve dritter Ordnung resp. in zwei Kegelschnitte bedingt. Indem nun für die Gleichung der Parameter der Berührungspunkte der Doppeltangenten die Disctiminante gebildet wird, zeigt sich, dass sie dieselben Faktoren, aber in andern Potenzen, enthält, wie die Discriminate der Gleichung für die Wendepunkte, wodurch sich ein Zusammenhang zwischen der Realität der Wedepunkte und der der Doppeltangenten herstellt. Nachdem noch gezeigt ist, wie sich die Betrachtungen auf den Fall imaginärer Doppelpunkte übertragen lassen, wird eine Eintheilung der fraglichen Curven ihrer Gestalt nach in neun Typen gegeben, welchen sich acht Uebergangsformen anschlissen, welche alle in zwei Tafeln gezeichnet sind.