Sur la génération de la courbe méridienne d'une surface de révolution dont la courbure moyenne varie suivant une loi donnée. (Q1555202)

Delaunay hat im Jahre 1841 synthetisch bewiesen, dass eine Rotationsfläche mit constanter mittlerer Krümmung zur Meridiancurve den geometrischen Ort des Brennpuktes eines Kegelschnittes hat, der auf der Axe rollt. Der Herr Verfasser sucht nun den Zusammenhang zwischen der Curve, welche ein mit der beliebigen ebenen Curve \(A\) starr verbundener Punkt \(O\) beschreibt, während \(A\) auf einer Geraden rollt, und der mittleren Krümmung \(\frac 1 k\) der Rotationsfläche, deren Meridiancurve vom Punkte \(O\) beschrieben wird, wenn man als Rotationsaxe die Bahn wählt. Er denkt sich herbei die Winkelgeschwindigkeit der rollenden Curve constant, und entwickelt die Formeln mit kinematischen Hülfsmitteln. Das allgemeine Resultat ist folgendes: Bildet eine durch \(O\) gelegte, mit \(A\) starr verbundene Gerade mit der Axe den veränderlichen Winkel \(\vartheta\), ist ferner \(r\) die Verbindungslinie von \(O\) mit dem augenblicklichen Berührungspunkte zwischen \(A\) und der Bahn und \(\alpha\) der Winkel, welchen \(r\) mit der Normale der Bahn bildet, so ist \[ \frac{d\alpha}{d\theta}=1+\frac{k}{r-2k} \text{ und } \text{tg\,}\alpha=\frac 1 r \frac{dr}{d\theta}. \] Vermöge dieser Gleichungen lassen sich z. B., wenn \(\frac k r\) als Function von \(\theta\) gegeben ist, auch \(\alpha\) und \(r\) als solche darstellen, so dass dann die Gestalt der rollenden Curve bestimmt ist. Ebense lässt sich die Integration durchführen, wenn \(tg\alpha\) als Function von \(r\) gegeben ist. Ausser zur Bastätigung des Delaunay'schen Satzes macht der Herr Verf. eine Anwendung auf die capillare Rotationsfläche; die hierbei sich ergebene Differentialgleichung ist aber zimlich verwickelt und ihre Integration scheint unausführbar. (Auf Seite 6 Zeile 3 von unten befinden sich zwei Druckfehler. Es muss heissen \[ \varrho=\frac{b^2}{a\cos\alpha^3}, \quad r\cos\alpha.(2a-r)\cos\alpha=b^2. \] Seite 7 Zeile 7 von oben muss heissen \[ mTx=90^{\circ}-\alpha+\theta, \quad dmTx-d\theta-d\alpha.) \]