On the conformal mapping of multiply connected planar surfaces. (Q1555274)

Es sei \(p(x)\) eine rationale Function von \(x\) mit willkürlichen reellen oder complexen Coefficienten, doch so, dass die Unendlichs von \(p(x)\) nicht auf der, einen einfach zusammenhängenden Bereich \(A\) umschliessenden Linie \(L\) liegen. Dann lässt sich aus einem Satze von Schwarz (in der Abhandlung: Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\) etc., Berl. Monatsber. 1870, siehe F. d. M. II. 214, JFM 02.0214.03) die Existenz einer Function \[ K(x)=p(x)-F(x) \] herleiten, die sich im Innern von \(A\) wie \(p(x)\) verhält und an der Linie \(L\) reelle Werthe annimmt. Durch die Beziehungen, welche zwischen den Functionen \(K\) bestehen, können -- wie Herr Schottky zunächst in der Einleitung zeigt -- die Bedingungen gewonnen werden, unter denen die conforme Abbildung des Bereiches \(A\) in die positive Halbebene \(A'\) möglich ist. Im Folgenden wird nun ein \(n\)-fach zusammenhängender Theil \(A\) der Ebene betrachtet, der nach aussen durch eine einfach geschlossene Linie \(L_0\), nach innen aber durch \(n-1\) andere solcher Linien \(L_1,L_2,\ldots L_{n-1}\) begrenzt ist. Die Function \(p(x)\) habe jetzt die Form \[ p(x)=R(x)+iC_1 \text{log}R_1(x)+iC_2\text{log} R_2(x) + \text{etc.}=p_1(\xi,\eta)+ip_2(\xi,\eta), \] dann giebt es eine Function \(\varphi(\xi,\eta)\), welche der Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \xi^2}+\frac{\partial^2 \varphi} {\partial\eta^2}=0 \] genügt, im Innern von \(A\) überall endlich und regulär ist, und am Rande mit einer Grösse \(z\) übereinstimmt, die für alle Punkte der Begrenzung so bestimmt ist, dass auf jeder Linie \(L_{q-1}\) stets \(z=c_{q-1}+p_2(\xi,\eta)\) ist, unter den \(c\) reelle willkürliche Constanten verstanden. Aus der Differentialgleichung folgt, dass \[ \frac{\partial\varphi}{\partial \eta}\,\delta\xi+ \frac{\partial \varphi}{\partial\xi}\,d\eta \] das vollständige Differential einer neuen Function \(\psi(\xi,\eta)\) ist. Bildet man jetzt aus \(\varphi\) und \(\psi\) die complexe Function \[ f=\psi+i\varphi, \] wo wird \(f\) eine Function einer complexen Variabeln \(x=\xi+i\eta\), und ihre sämmtlichen Differentialquotienten sind im Innern von \(A\) endliche, stetige und eindeutige Functionenl. Endlich wird die im Folgenden zu Grunde liegende Function \(F(x)\) durch die Differenz \[ p(x)-f(x)=F(x) \] definirt. Nach Betrachtung des speciellen Falles, wo die \(c\) alle \(=0\) und \(p(x)\) eine rationale Function \(R(x)\) ist, wird untersucht, stellen lassen. Mit Hülfe der von Herrn Weiterstrass in seinen Verlesungen über Abel'sche Functionen gegebenen Principien gelangt dann der Herr Verfasser zu folgendem Satze: ``Zwei doppelt zusammenhängende Gebiete \(A\) und \(A'\) lassen sich conform in einander abbilden, wenn die Invariante der charakteristischen Gleichung in beiden Fällen denselben Werth hat, und zwar auf unendlich viele Arten; die Abbildung wird eine völlig bestimmte, wenn wir zwei willkürlich gewächlte Punkte der Grenzen von \(A\) und \(A'\) einander zuordnen.'' ``Ist \(\varrho>1\), so giebt es im Allgemeinen keine Transformation der Gleichung \({\mathfrak G}(s,t)=0\) in sich selbst, sondern dies tritt nur in besonderen Fällen ein, und die Anzahl dieser Transformationen ist dann eine endliche. Ist \(\varrho=2\), so lässt die Gleichung \({\mathfrak G}(s,t)=0\) noch eine reelle Transformation zu, doch wird dann \(A\) nicht in sich selbst, sondern in seine symmetrische Ergäunzung \(A'\) abgebidet''. Hieran werden Betrachtungen einiger besonderer Gebiete und Untersuchungen der zu ihnen gehörigen Functionen \(F(x)\), \(H(x)\), \(K(x)\) geknüpft.