Ueber die Abbildung \(x+yi=\root n\of{X+Yi}\) und die lemniscatischen Coordinaten \(n^{\text{ter}}\) Ordnung. (Q1555276)

1) Betrachtet man in der \(XY\)-Ebene einen Kreis um den Punkt \((a+bi)\) mit dem Radius \(c\), also \[ (X-a)^2+(Y-b)^2=c^2 \] oder \[ [(X_Yi)-(a+bi)][(X-Yi)-(a-bi)]=c^2, \] und ersetzt \(X+Yi\) durch \((x+yi)^n\) und demgemäss \(X-Yi\) durch \((x-yi)^n\), so kann man jede der beiden Klammern links in \(n\) Factoren zerlegen, so dass die entsprechenden Factoren conjugirt sind. Das reelle Product je zweier dieser conjugirten Factoren stellt das Quadrat der Entfernung von einem der Punkte \(\root n \of {a+bi}\) nach dem Punkte \(x+yi\) dar. Nennt man diese Entfernungen \(p_1,p_2,p_3,\ldots p_n\), so wird \(p_1.p_2.p_3\ldots p_n=c.\) Der betrachtete Kreis mit dem Mittelpunkt \((a+bi)\) und dem Radius \(c\) bildet sich also in eine Curve ab, für deren u das Product der Entfernungen von den \(n\) Punkten \(\root n \of {a+bi}\), (welche ein reguläres Polygon bilden) sonstant und zwar gleich \(c\) ist. Für \(n=2\) sind dies die gewöhnlichen Lemniscaten. Der Herr Verfasser nennt deshalb die so definirten Curven allgemeine ``Lemeinscaten \(n^{\text{ter}}\) Ordnung'' und die Punkte \(\root n \of {a+bi}\) ihre Brennpunkte. (Der Kreis selbst sit hiernach als Lemeinscate \(1^{\text{ter}}\) Ordnung zu betrachteten.) 2) Die Gerade durch den Punkt \((a+bi)\) in der \(XY\)-Ebene, welche den Richtungswinkel \(\gamma\) hat, genügt der Gleichung \[ \gamma=\text{arc\,tg\,}\frac{Y-b}{X-a}= \frac{1}{2i}\text{lg\,}\frac{(X+Yi)-(a+bi)}{(X-Yi)-(a-bi)} \cdot \] Hier können Zähler und Nenner des Numerus wieder in je \(n\) Producte zerlegt werden, so dass je ein Factor des Zḧlers und des Nenners conjugirt sind, und diese können zu Brüchen vereinigt werden. Dann kann der Logarithmus in eine Summe von \(x\) Logarithmen verwandelt werden, deren jeder gleich ist \(2i\vartheta\), wo \(\vartheta\) der Richtungswinkel eines Strahles von einem der \(n\) Punkte \(\root n \of {a+bi}\) anch \(x+yi\) ist. Nennt man diese \(n\) Richtungswinkel \(\vartheta_1,\vartheta_2,\ldots \vartheta_n\), so folgt \[ \gamma=\vartheta_1+\vartheta_2+\dotsm +\vartheta_n. \] Die Gerade durch den Punkt \((a+bi)\) mit dem Richtungswinkel \(\gamma\) bildet sich also ab in eine Curve, für welche die Summe der Richtungswinkel der Strahlen von jedem der \(n\) Punkte \(\root n \of {a+bi}\) nach dem Curvenpunkte \(x+yi\) constant und zwar gleich \(\gamma\) ist. Für \(n=2\) ist dies eine gleichseitige Hyperbel. Der Herr Verfasser nennt deshalb die so definirten Curven allgemein ``Hyperbeln \(n^{\text{ter}}\) Ordnung''. Sie gehn durch die \(n\) Punkte \(\root n \of {a+bi}\) hindurch. (Die Gerade ist hiernach als Hyperbel \(1^{\text{ter}}\) Ordnung zu betrachteten.) Da eine concentrische Kreisschaar und die Geraden durch den Mittelpunkt orthogonal sind, so gilt dasselbe von den confocalen Lemniscaten \(n^{\text{ter}}\) Ordnung und der durch die Brennpunkte gelegten Hyperbelschaar \(2^{\text{ter}}\) Ordnung. Weiter folgt, dass die Schaar der Kreise durch 2 Punkte \((a+bi)\) und \((a_1+b_1 i)\), für deren jeden die Differenz der Richtungswinkel nach \((a+bi)\) und \((a_1+b_1 i)\), d. h. der Peripherwinkel constant \((=\gamma)\) ist, und die Schaar der orthogonalen Kreise, für deren Punkte des Verhältniss der Entfernungen von jenen Punkten constant \((=c)\) ist, sich abbilden in zwei orthogonale Lemniscatenschaaren \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, und zwer ist für jede Curve der ersten Schaar \[ \sum \varphi-\sum\chi=\gamma, \] wenn \(\varphi_1,\varphi_2,\ldots \varphi_n\) die Richtungswinkel der Strahlen von den Punkten \(\root n \of {a+bi}\) nach \(x+yi\), und \(\chi_1,\chi_2,\dotsm . \chi_n\) diejenigen für die Strahlen von den Punkten \(\root n \of {a+bi}\) nach \(x+yi\) sind. Dagegen ist für jede Curve der zweiten Schaar \[ \frac{p_1 p_2 \ldots p_n}{q_1 q_2 \ldots q_n}=c, \] wenn \(p_1,\ldots p_n\) die Entfernungen der Punkte \(\root n \of {a+bi}\) von \((x+yi)\) und \(q_1,q_2, \ldots q_n\) diejenigen der Punkte \(\root n \of {a+bi}\) von \(x+yi\) sind. [In diesen Sätzen ist ein interessantes Beispiel zu gewissen von Darboux in der Abhandlung ``Sur une classe remarquable de corbes etc. (Mém. de Bordeaux VIII. und IX.; Referat F. d. M. V. 399-408, speciell p. 404-405, JFM 05.0399.01) gegebenen allgemeineren Sätzen enthalten. Anm. D. Ref.] Ist allgemein die Gleichung einer Curve im Original in Polarcoordinaten bezogen auf \(a+bi\) als Anfangspunkt \(f(r,\vartheta)=0\), so ist die Gleichung der Abbildung \[ f[(p_1.p_2 \ldots p_n), (\vartheta_1+\vartheta_2+\dotsm\vartheta_n)]=0. \] Im Anschluss an die hier besprochenen Beziehungen werden in der Arbeit noch Untersuchungen über projectivische Relationen angestellt. Endlich wird die Abbildung \[ x+yi=(X+Yi)^{\frac m n} \] besprochen, durch welche Lemeinscaten und Hyperbeln \(m^{\text{ter}}\) Ordnung in solche \(n^{\text{ter}}\) Ordnung übergehen. Auch negative Potenzexponenten können mit Zuhülfenahme von reciproken Radien leicht erledigt werden. Aus der bekannten Kreisverwandtschaft kann man zu einer lemniscatischen Verwandtschaft \(n^{\text{ter}}\) Ordnung übergehen, wie solche für \(n=2\) vom Verfasser bereits früher behandelt ist. (Vergl. F. d. M. VIII. 537, JFM 08.0537.01); übrigens ist die lemniscatische Abbildung für \(n=2\) auch von Wangerin (Grunert Arch. LV., siehe F. d. M. V. 427, JFM 05.0427.02) in etwas anderer Form behandelt worden.