Ueber die Geradführung durch das Kurbelgetribe. (Q1555300)

Den Ausgangspunkt für die vorliegende Untersuchung bildet der Satz: In vier beliebig in einer Ebene liegenden ähnlichen oder congruenten Systemen giebt es im Allgemeinen nur eine Gruppe von vier homologen Punkten, die sich auf einer Geraden befinden. Sind 4 congruente ebene Systeme \(S_1, S_2, S_3, S_4\) resp. durch die homologen Strecken \(A_1 B_1, A_2 B_2, A_3 B_3, A_4 B_4\) gegeben, so wird die Gerade \(L\), auf der jene Gruppe gelegen ist, constructiv bestimmt. Die Gruppe \(Q_1 Q_2 Q_3 Q_4\) selbst gewinnt der Verfasser durch vier Kreise, welche sich aus den gegebenen Elementen der Systeme leicht herleiten lassen. Diese vier Kreise werden, wenn man vier unendlich nahe Lagen eines bewegten starren Systems annimmt, durch den Wendekreis vertreten, und die Gruppe der homologen Punkte \(Q_1 Q_2 Q_3 Q_4\) wird durch einen Systempunkt repräsentirt, der in vier aufeinanderfolgenden Zeitmomenten sich auf einer Geraden befindet, also momentan einen Undulationspunkt seiner Bahn durchschreitet. Nimmt man nicht vier unendlich nahe Lagen des congrueten bewegten starren Systems an, sondern wählt man zwei in endlicher Distanz gefindliche Grenzlagen und zwischen diesen zwei andere Systemlagen, so wird der Punkt des Systems, der in diesen vier Lagen auf einer Geraden liegt, ein Curvenstück beschreiben, von dem vier homologe Punkte genau in einer Geraden liegen; alle anderen Systempunkte aber besitzen diese Eigenschaft nicht. Es eird Anwendung von den theoretischen Entwickelungen gemacht auf besondere Führungen des bewegten starren Systems. Im zweiten Theil der vorliegenden Arbeit wird zunächst der Satz entwickelt: Die Mittelpunkte derjenigen Kreise, welche je drei homologe Punkte von drei congruenten Punktreihen verbinden, liegen auf einem Kegelschnitt, welcher durch die drei Pole geht, und daraus wird die weitere Folgerung hergeleitet, dass es entweder einen oder drei Kreise giebt, welche durch vier homologe Punkte von vier in einer Ebene liegenden congruenten Punktreihen gehen. Sind die vier homologen Punktreihen durch die homologen Strecken \(A_1 D_1, A_2 D_2, A_3 D_3, A_4 D_4\) bestimmt, und nimmt man an, dass \(D_1, D_2, D_3, D_4\) auf einer Geraden \(k_{\delta}\), die Punkte \(A_1, A_2, A_3, A_4\) aber auf einem Kreise \(k_{\alpha}\) liegen, so giebt es, da \(k_{\delta}\) als ein kreis mit unendlich grossem Radius aufzufessen ist, noch einen Kreis \(k_{\beta}\), welcher 4 homologe Punkte \(B_1, B_2, B_3, B_4\) der congruenten Systeme verbindet. Dieser Kreis wird construirt. Würde man demnach ein bewegtes starres System mit zwei homologen Punkten bezüglich in den Kreisen \(k_{\alpha}\) und \(k_{\beta}\) führen, so würde \(D\) eine Curve beschreiben, von welcher die vier Punkte \(D_1, D_2, D_3, D_4\) in einer geraden Linie gelegen sind. Es bilden nunmehr einige besondere Führungen des bewegten starren Systems den Gegenstand weiterer Betrchtungen; unter anderem werden die vorstehenden theoretischen Grundgesetze auf den Conchoidenlenker angewendet. Dabei zeigt sich, dass, wenn eine Gerade so bewegt wird, dass sie sich stets druch einen festen Punkt \(\varDelta\) schiebt, während ein Punkt derselben auf einem bestimmten Kreise geführt wird, ein gewisser Punkt \(D\) der Geraden eine Curve beschreibt, welche sechs Punkte mit einer Geraden gemein hat. Dieser Conchoidenlenker ist unter dem Namen Reichenbach'scher Lenker bekannt, und man hat bis jetzt denselben nur so zu consrtuiren vermocht, dass drei oder höchstens vier Punkte, welche der geradführende Punkt beschreibt, auf einer Geraden liegen. Um weitere Anwendungen zu ermöglichen, geht der Verfasser auf eine gewisse geometrische Verwandtschaft näher ein. Sind drei congruente, ebene Systeme \(S_1, S_2, S_3\) gegeben, so geht durch drei homologe Punkte stets ein Kreis. Sein Mittelpunkt ist bedingt durch die Wahl eines Punktes in \(S_1\), und es besteht demnach zwischen dem System \(S_1\) und dem System der Kreismittelpunkte eine geometrische Verwandtschaft. Das Characteristische derselben ist das, dass jedem Punkt des Systems \(S_1\) ein Punkt im anderen System, jeder Geraden aber in ersterem System ein Kegelschnitt im zweiten entspricht, welcher durch die Pole der drei Systeme \(S_1, S_2, S_3\) hindurchgeht. Diese Pole, welche bezüglich mit \(P^{1,2}, P^{2,3}, P^{3,1}\) bezeichnet werden, spielen natürlich für das System \(S_1\), wie für das System der Kreismittelpunkte, für welches das Symbol \(\Sigma^{1,2,3}\) gewählt wird, ihre besondere Rolle, und eine ähnliche Besonderheit zeigen die Punkte \(P^{1,2}_3, P^{2,3}_1, P^{1,1}_2\), von denen \(P^{1,2}_3\) den Punkt bedeutet, welcher im System \(S_3\) dem Pol von \(S_1, S_2\) entspricht, die übrigen aber die analoge Bedeutung haben. Während nämlich im Allgemeninen jedem Punkt in \(S_1\) ein Punkt in \(\Sigma^{1,2,3}\) entspricht, entsprechen dem Punkte \(P^{1,2}\) in \(S_1\) alle Punkte der Geraden \(P^{2,3}, P^{3,1}\) in \(\Sigma^{1,2,3}\). Ein solcher Punkt in dem einen System, dem alle Punkte einer Geraden im anderen entsprechen, heisst Hauptpunkt, jene Gerade aber Hauptgerade. In diesem Mittelpunkte des Kreisbüschels enthählt und Mittellinie genannt wird, läuft parallel der rellen Asymptote und halbirt den Abstand derselben von Centrum der Curve. Sobald also Centrum und Mittellinie der Curve \(\varPhi\) aus zwei Paar Gegenpolen bestimmt sind, hat man alle Elemente für die Construction der Curve \(\varPhi\) in der Hand. Das Centrum erhält man, indem man um die Dreiecke, welche das Vierseit der Gegenpolenpaare bestimmt, Kreise schlägt; ihr gemeinsamer Durchschnitt ist dieses Centrum. Die Mittellinie aber halbirt die beiden Strecken, welche je ein Paar Gegenpole verbinden. In ähnlicher Form werden die constructiven Elemente der Angriffscurve \(F_1\) ermittelt. Auch sie geht durch die beiden imaginären Kreispunkte, hat ihr Centrum auf sich selbst, und ist aus einem Paar Gegenpunkten zu bestimmen, welche nach Analogie der Gegenpole aus den Punkten \(P^{1,2}, P^{1,3}, P^{1,4}, P^{2,3}_1, P^{2,4}_1, P^{3,4}_1\) auszuwählen sind. Besondere Lagen der congruenten Systeme \(S_1, S_2, S_3, S_4\) führen naturgemäss auf besondere Constructionen von Mittelpunktcurve und Angriffscurve, und erfahren einige derselben zum Schluss eingehendere Behandlung. Im Anschluss an die obigen Ergebnisse werden im dritten Theil der vorliegenden Arbeit fünf congruente ebene Systeme in den Kreis der Betrachtung gezogen. Sie seien \(S_1, S_2, S_3, S_4, S_5\). Je vieren derselben entspricht eien Mittelpunktscurve; so den Systemen \(S_1, S_2, S_3, S_4\) die Mittelpunktcurve \(\varPhi^{1,2,3,4}\) und den Systemen \(S_1, S_2, S_3, S_5\) die Mittelpunktcurve \(\varPhi^{1,2,3,5}\). Da sich beide Curven in den Polen \(P^{1,2}, P^{2,3}, P^{3,1}\) schneiden und sie ausserdem noch durch die imaginären Kreispunkte gehen, so haben sie noch vier andere Schnittpunkte \(\alpha,\beta, \gamma, \delta\). Diese sind Mittelpunkte solcher Kreise, auf denen fünf homologe Punkte der fünf Systeme \(S_1, S_2, S_3, S_4, S_5\) gelegen sind. Im System \(S_1\) entspricht den Systemen \(S_1, S_2, S_3, S_4\) eine Angriffscurve \(F^{1,2,3,4}\), die in \(S_1\) die Punkte trägt, welche mit den homologen Punkten von \(S_2, S_3, S_4\) auf Kreisen liegen. In demselben Sinne entspricht den Systemen \(S_1, S_2, S_3,S_5\) eine Angriffscurve \(F^{1,2,3,5}\). Beide schneiden sich ausser in den Punkten \(P^{1,2},P^{1,3},P_1^{2,3}\) und den imaginären Kreispunkten noch in vier anderen Punkten \(A_1, B_1, C_1, D_1\) des Systems \(S_1\); von diesen liegt jeder mit seinen vier homologen Punkten in \(S_2, S_3, S_4, S_5\) auf einem Kreise. Es giebt also in fünf beliebig in einer Ebene liegenden congruenten Systemen vier Gruppen von fünf homologen Punkten, die je auf einem Kreise liegen. Die Mittelpunkte dieser Kreise sind die mit Hülfe der Mittelpunktscurven zu construirenden Punkte \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\). Zu ihnen gehören die Kreise \(K_{\alpha},K_{\beta},K_{\gamma},K_{\delta}\), von denen jeder eine Gruppe von fünf homologen Punkten trägt, und zwar trägt \(K_{\alpha}\) den Punkt \(A_1\) und die in den anderen Systemen ihm homologen Punkte \(A_2, A_3, A_4, A_5\), der Kreis \(K_{\beta}\) trägt die Gruppe \(B_1, B_2,B_3,B_4,B_5\), der Kreis \(K_{\gamma}\) die Gruppe, welche \(C_1\) entspricht, und endlich \(K_{\delta}\) diejenige, welche zu dem Punkt \(D_1\) gehört. Sind demnach die fünf congruenten Systeme durch die homologen Strecken \(A_1 D_1, A_2 D_2, A_3 D_3, A_4 D_4, A_5 D_5\) gegeben, und nimmt man ihre Lage so an, dass \(D_1, D_2, D_3, D_4, D_5\) in gleicher Bogendistanz auf einem Kreise \(K_{\gamma}\) liegen, während die Punkte \(A\) einem Kreise \(K_{\alpha}\) angehören, so lassen sich die Kreise \(K_{\beta}\) und \(K_{\gamma}\) construiren, von denen der eine die Gruppe der \(B\), der andere die Gruppe der \(C\) trägt. Leitet man daher ein congruentes System so, dass eine Strecke \(AB\) mit ihren Endpunkten auf den Kreisen \(K_{\alpha}\) und \(K_{\beta}\) sich bewegt und bei der Bewegung in die Lagen von \(A_1 B_1, A_2 B_2, A_3 B_3, A_4 B_4, A_5 B_5\) übergeht, so wird der Punkt \(D\) eine Curve beschreiben, von der fünf Punkte auf einem Kreise \(K_{\gamma}\) in gleicher Bogendistanz gelegen wären. Hätte man die Punkte \(D-1, D_2, D_3, D_4, D_5\) auf einer Geraden \(K_{\delta}\) in gleicher Distanz angenommen, so hätten die drei Kreise \(K_{\alpha},K_{\beta},K_{\gamma}\), je nachdem man zwei derselben zur Führung benutzt hätte, zu drei Geradführungen Veranlassung gegeben, d. h., der Punkt \(D\) hätte bei den betreffenden Führungen des Systems eine Curve beschrieben, welche fünf Punkte in gleicher Distanz auf eienr geraden Linie besässe. Diese theoretische Grundlage findet nunmehr Anwendung auf specielle Geradführungen und von ihr aus werden die in der Maschinenmechanik üblichen Geradführungen und von ihr aus werden die in der Maschinenmachanik üblichen Geradführungen beleuchtet. Auf diese Anwendungen näher einzugehen, auss hier verzichtet werden; es genügt, die allgemeinen Gesichtspunkte in ihren wesentlichen Zügen zu kennzeichnen. Man wird erkennen, dass sie den Kern der sich hier bietenden Probleme treffen, und für Anwendungen der Geradführungen durch das Kurbelgetriebe sich höchst fruchtbar erweisen.