Specielle Probleme über die Bewegung gradliniger paralleler Wirbelfäden. (Q1555408)

Den Ausgangspunkt der Arbeit bilden die allgemeinen Gleichungen, welche Herr Kirchhoff in seiner Mechanik (p. 259) für die Bewegung aufstellt, welche parallele geradlinige Wirbelfäden unter ihrer gegenseitgen Einwirkung vollführen. Diese Bewegung wird eingehend untersucht für drei beliebige Wirbelfäden, für vier Fäden unter Voraussetzung einer Symmetrieebene, endlich für \(2n\) Wirbelfäden unter Voraussetzung von \(n\) Symmetrieebenen. Auf die Bestimmung der Bewegung von Flüssigkeitstheilchen, die sich in endlicher Entfernung von den Wirbelfäden befinden, geht der Verfasser nicht ein. Da man von den Bewegungsgleichungen (zwei Differentialgleichungen der ersten Ordnung für jeden Faden) vier Integrale kennt, so kommt, wie Herr Kirchhoff schon bemerkt, bei drei Wirbelfäden die Aufgabe, ihre Bewegung zu bestimmen, auf die Auflösung von Gleichungen und die Ausführung von Quadraturen zurück. Es kommt daher wesentlich auf eine geschickte Behandlung der Gleichungen an. Der Verfasser verfährt nun so: Durch Transformation der bekannten Integrale lassen sich zwei endliche Gleichungen aufstellen, in welchen nur die Seiten des Dreiecks der drei Wirbelfäden auftreten. Dies führt darauf, aus den ursprüglichen sechs Gleichungen drei neue zu bilden, welche nur die Seiten des genannten Dreiecks anthalten. Da man von diesen drei Gleichungen zwei Integrale kennt, so reducirt sich die Aufgabe auf die Ausführung von Eliminationen und einer Quadratur. Die Rechnungen, deren Gang so bestimmt ist, lassen sich indess nicht allgemein durchführen. Der Verfasser beschränkt sich daher auf folgende specielle Annahmen über die den drei Wirbelfäden eigenthümlichen Constanten \(m_1, m_2, m_3\): \[ \begin{aligned} & 1) \quad m_1=m_2=-m_3,\\ & 2) \quad m_1=m_2=m_3,\\ & 3) \quad m_1=2m_2=-2m_3,\end{aligned} \] Für diese Specialfälle, von denen der erste auf elliptische, der zweite auf hyperelliptische Integrale, der dritte auf Kreisfunctionen führt, wird die Lösung durchgeführt und die Resultate eingehend discutirt. Daran schliesst sich die Aufstellung einiger partienlärer Lösungen der Bewegungsgleichungen ohne Specialisirung der Constanten \(m\). Ohne diese Specialisirung lassen sich folgende Fälle vollständig behandeln: ``das Dreieck der drei Wirbelfäden ändert weder Gestalt noch Grösse; das Dreieck ändert seine Grösse, aber nicht seine Gestalt; das Dreieck ist beständig gleichschenklig; das Dreieck ist beständig rechtwinklig; die Bahnen sind parallele Linien.'' Von diesen Fällen werden die drei ersten durchgeführt, die beiden letzten nur angedeutet. Bei der Bewegung von vier Wirbelfäden wird die Bewegung von vorn herein als symmetrisch in Bezug auf eine den Fäden Parallele Ebene engenommen, so dass zwei der Fäden Spiegelbilder der beiden andern in Bezug auf jene Ebene sind. Zur wirklichen Ausführung der Rechnung muss man auch hier über die zwei verfügbaren Constanten der Wirbelfäden die Annahme machen \(m_1=m_2\). Dann führt die Aufgabe auf elliptische Integrale, deren Reduction und Discussion im Einzelnen durchgeführt wird. Für \(2n\) Wirbelfäden wird die Bewegung unter Voraussetzung von \(n\) Symmetrieebenen bestimmt. Damit eine derartige Bewegung möglich sei, muss \[ m_1=-m_2=m_3=-m_4= \dotsm m_{2n-1}=-m_{2n} \] sein; und zur Bestimmung der Bewegung in diesem Falle reichen trigonometrische und algebraische Functionen aus.