The Fundamental Theorem of Algebra. (Q1555806)

Herr Gordan theilt eine wesentliche Vereinfachung des zweiten Gauss'schen Beweises für die Existenz der Wurzeln algebraischer Gleichungen mit. Er setzt \[ f(x+u)=f(x)+uP(x,u), \] betrachtet dann die Resultante \(R_{f(x), P(x,u)}\), welche \(= R_{f(x), P(x, - u)}\) ist und also eine Function \(\frac{n(n-1)}{2}^{\text{ten}}\) Grades von \(u^{2}\) wird. Besitzt diese eine Wurzel \(v\), so ist \(v\) ein Theiler von \(f(x)\); aus der Existenz desselben folgt diejenige einer Wurzel von \(f(x)\), wie durch Betrachtung der Fälle nachgewiesen wird, dass 1) \(v\) reell, 2) imaginär aber von einem Grade \(<\frac{n}{2};3)\) imaginär und vom Grade \(\frac{n}{2}\) sei.