Théorie des formes binaires. (Q1555835)

Zur Einführung in das weite Gebiet der invarianten-theoretischen Forschungen, die in rascher Entwicklung jetzt schon alle Zweige der Mathematik durchdringen, hat bisher nur das Salmon'sche Werk ``Algebra der linearen Transformationen'' (übersetzt von Fiedler) dienen können. Auch dieses ist mehr Hand- als Lehrbuch und wird vom Anfänger mit Vortheil nur in Verbindung mit den Fiedler'schen ``Elementen der neueren Geometrie'' benutzt werden. Die hiernach bestehende Lücke sucht das vorliegende Lehrbuch auszufüllen. Dem Salmon'schen Buche gegenüber ist es viel elementarer gehalten, indem es sich darauf beschränkt, den Leser nur bis zu den Originalarbeiten hinzugeleiten. Freilich setzt es auf der anderen Seite wieder die Theorie der symmetrischen Functionen der Wurzeln einer Gleichung und der wesentlichsten Eigenschaften der Invariationen und Covarianten. Wir bezeichnen den Inhalt der einzelnen Kapitel genauer: In Kapitel 1 werden neben den einfacheren Eigenschaften der symmetrischen Functionen die partiellen Differentialgleichungen (von Brioschi und Cayley aufgestellt) mitgetheilt, welchen die Functionen genügen und welche erlauben, ihren Ausdruck in den Coefficienten der Form nach zu bilden. Dieser Methode werden am Schlusse des Buches Tafeln der symmetrischen Functionen bis zur Ordnung 11 incl. angehängt. Auch die Borchart'sche Darstellung durch die ``erzeugende Function'' wird wiedergegeben. Kapitel 2 und 3 über die ``Resultanten'' und ``Discriminanten'' sind etwas knapp gehalten, wohl desshalb, weil der Verfasser in einem früheren Buche diese Theorie auseinandergesetzt hatte. Auch wird es bei einigen dieser Sätze, wie bei (50), p. 93 (auch nach Correctur des Druckfehlers) für den Anfänger nicht leicht sein, zu verstehen, ob die Theoreme für 2 Gleichungen von gleichem Grade oder auch für solche von ungleichem Grade gelten sollen. Kapitel 4 enthält die Ueberführung der Formen ungeraden Grades und vom Grade 4 und 8 in die kanonische Form, die Summe von Potenzen. Kapitel 5 beschäftigt sich mit den Invarianten, hauptsächlich nach den Methoden und auch nach der Bezeichnungsweise der Engländer. Zunächst werden die Eigenschaften in Bezug auf die Coefficienten der Form abgeleitet, die partiellen Differentialgleichungen, die Berechnung der Zahlencoefficienten der Invariante bei gegebener Gestalt derselben. Sodann die analogen Eigenschaften der Invarianten in Bezug auf die Wurzeln der Form. Am Schlusse des Buches finden sich auch noch Tafeln der Invarianten der Formen \(2^{\text{ten}}\) bis \(5^{\text{ten}}\) Grades, in den Ausdrücken durch die Wurzeln sowohl als durch die Coefficienten. Kapitel 6 handelt ähnlich von den Covarianten und giebt weiter auch die directere Aufstellung einer Reihe solcher durch verschiedene Operationen, wie Polarenbildung (Emananten) etc.; als Beispiel die Aufstellung der kanonischen Form der Formen graden Grades. Von den Anwendungen erwähnen wir weiter die Lösungen der Gleichungen \(3^{\text{ten}}\) und \(4^{\text{ten}}\) Grades; aber zu diesen dem Anfänger doch interessantesten Anwendungen ist zu bemerken, dass die Durchführung der Lösung für die Gleichung \(3^{\text{ten}}\) Grades nicht gegeben, vielmehr mit einem Citat auf Cayley erledigt wird (No. 136), und dass auch für die Lösung der Gleichung \(4^{\text{ten}}\) Grades in der Form (23) No. 138 auf den nothwendigen Zusammenhang zwischen den Vorzeichen der 3 Quadratwurzeln nicht ausdrücklich aufmerksam gemacht wird. Kapitel 7 enthäl specielle Untersuchungen: die Hermite'sche Theorie der associirten Formen, ferner das von Hermite gegebene Gesetz der Reciprocität, nach welchem jeder Covariante \(r^{\text{ter}}\) Ordnung (in den Coefficienten) von einer Form \(n^{\text{ten}}\) Grades eine Covariante \(r^{\text{ter}}\) Ordnung von einer Form \(r^{\text{ten}}\) entspricht; weiter ein Beispiel einer typischen Darstellung, derjenigen der Form \(5^{\text{ten}}\) Grades durch Einführung zweier linearer Covarianten; und endlich Einiges über die Tschirnhausen'sche Transformation. Am Schlusse ist noch eine Einführung in die symbolische Darstellungsweise, die nach den Arbeiten von Clebsch und Gordan sich als die angemessenste gezeigt hat, gegeben. Vielleicht würde das wichtige Gesetz der Reciprocität des Kapitel 7 bei einer Anwendung dieser Darstellungsweise klarer hervorgetreten sein. Wenn somit, wie diese Inhaltsangabe zeigt, auch einige Lücken vorhanden sind, so ist doch das Buch, bei dem methodisch geordneten und fast überall sehr klar dargestellten Stoff, auch bei uns zu einer Einführung in die Disciplin der neueren Algebra sehr wohl geeignet, insbesondere auch für Selbststudium. Für eine Uebersetzung wäre aber zu wünschen, dass die Kapitel 2 und 3, etwa auf Kosten des ersten Kapitels, weiter ausgeführt würden. Es ist noch zu bemerken, dass die Brauchbarkeit des Buches in einem demselben vorangedruckten Briefe von H. Gordan anerkannt wird. (Ein Referat über das Buch findet sich auch in Darboux Bull. X. 166.)