Ueber die algebraischen Formen, deren Hesse'sche Determinante identisch verschwindet. (Q1555851)

Die Bedeutung des Verschwindens der Hesse'schen Determinante war bisher nur in den einfachsten Fällen festgestellt worden, und noch existirte keine Methode, um die von Hesse aufgestellte Behauptung: ``Beim identischen Verschwinden jener Determinante lasse sich die Form von \(n\) Variabeln linear in eine solche von weniger Variabeln transformiren'' zu untersuchen (vgl. F. d. M. VII. p. 79, JFM 07.0079.01). In der ersten der genannten Arbeiten (JFM 08.0064.03) wird nun hauptsächlich durch Betrachtung des Verhaltens der Determinante einer reducibelen Form in Bezug auf deren Factoren und der zwischen den Polaren bestehenden Relation -- auf einem etwas weitläufigen Wege der Satz für alle ternären Formen als richtig erwiesen. In der letzten Arbeit, von der die zweite Note (JFM 08.0064.04) ein Auszug ist, wird dagegen die allgemeinste Frage gestellt und mit neuen Methoden behandelt. Das Resultat ist, dass der Satz wohl für die ternären und quaternären, nicht aber für die Formen von mehr als \(n\) Variabeln gültig ist; dass vielmehr für diese höheren Fälle ganze Klassen von Formen mit verschwindender Hesse'scher Covariante existiren, ohne dass zwischen ihren Polaren lineare Relationen stattfinden. Die Methode der Untersuchung besteht aus mehreren Schritten. Es werden lineare partielle Differentialgleichungen untersucht, deren Coefficienten erst selbst wieder durch ein System solcher definirt werden. Um sodann die rationalen ganzen Lösungen derselben zu finden, werden Betrachtungen angestellt über rationale Transformationen bei mehreren Variabeln, die aber unbestimmter Art sind, nämlich mit identisch verschwindender Substitutionsdeterminante. Für die ternären Formen genügt hier übrigens schon der erste Schritt, und für diese liegt der Beweis in folgendem Schluss: Es seien \(\varDelta\) die Hesse'sche Determinante von \(f(x_1, x_2, x_3)\), \(\varDelta_{ik}\) die ersten Unterdeterminanten von \(\varDelta\), und \(\varDelta_{ik}\) nicht = 0, so hat man für \(\varDelta = 0\) zunächst: \[ \varDelta_{ik} = \varrho h_{i} h_{k}, \] \[ \varSigma h_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} = 0. \] Für diese Grössen \(h_{i} \;(x_1, x_2, x_3)\) wird die Gleichung \[ h_{i} (h_{1}, h_{2}, h_{3}) \equiv 0 \] aufgestellt, die aber nicht für variable \(h_{i}\) bestehen kann, da die \(h_{i}\) keinen Factor gemein haben sollen. Daher sind die \(h_{i}\) constant, was der Satz Hesse's ist. Es werden alle quinären Formen mit \(\varDelta = 0\) aufgestellt; die Formen von mehr als 5 Variabeln nur für den Fall, dass die entsprechenden \(h_{i}\) ein unendliches Gebiet füllen.