Ueber eine besondere Art von successiven linearen Substitutionen. (Q1555861)

Entstehen \(x_{n}\) und \(y_{n}\) aus \(x_{n-1}\) und \(y_{n-1}\) durch die Substitutionen \[ x_{n} = ax_{n-1} + by_{n-1}, \quad y_{n} = \alpha x_{n-1} + \beta y_{n-1}, \] wo \(a, b, \alpha, \beta\) von \(n\) unabhängig sind, so kann man \(x_{n}, y_{n}\) als Functionen jener vier Constanten ausdrücken. Der Herr Verfasser findet die Ausdrücke dadurch, dass er zwischen \(x_{\lambda}\) und \(x_{\lambda + 1}\) eine Reihe von \(m\) Zwischengliedern einschiebt und neue Werthe \(a', b', \alpha', \beta'\) der Art bestimmt, dass jedes folgende Paar \(x, y\) durch Substitutionen mit diesen Constanten aus dem vorhergehenden entsteht, und dass beide Reihen für ganzzahlige Indices gleiche \(x, y\) geben. Wächst dann \(m\) in's Unendliche, so liefert die Integration der entstehenden Differentialgleichung die Werthe für \(x_{n}, y_{n}\).