On some new theorems concerning Legendre symbol \(\left( \frac{a}{p}\right)\) (Q1555926)

In einem früheren Aufsatze hat der Verfasser folgendes Theorem bewiesen (siehe Bull. de l'Acad. T. XIV. ``Sur un théorème, relatif à la théorie des résidus''): ``Es seien \(a\) und \(r\) zwei ganze, ungrade, relative Primzahlen, von denen \(r\) zwischen 1 und \(2a - 1\) inclusive liegt. Bezeichnet man mit \(p\) eine Primzahl (2 ausgenommen) und bringt sie auf die Form \[ p = 2 an + r, \] so ist \[ \left(\frac{a}{p} \right) = (-1)^{\frac{a-1}{2}n + m} \] worin \(m\) eine von \(n\) unabhängige Zahl ist. Diese Zahl \(m\) ist durch die Anzahl der Lösungen einer gewissen Ungleichheit bestimmt. In einer späteren Notiz (ibidem) ist der Ausdruck der Zahl \(m\) als Function von \(a\) und \(r\) gegeben worden. In der gegenwärtigen Arbeit wird besonders ein specieller Fall hervorgehoben, in welchem die Zahl \(m\) sich leicht bestimmen lässt; ist nämlich \[ p= 2an + a + 2k, \] oder \[ p = 2an' + a - 2k, \] und in beiden Fällen \(\frac{a + 1}{2}\) ein ungrades Multiplum von \(k\), so hat man \[ \left( \frac{a}{2an + a + 2k}\right) = (-1)^{\frac{a-1}{2} n' + \tfrac 12 \left( \frac{a-3}{2} + k \right)}, \] und \[ \left( \frac{a}{2an' + a - 2k}\right) = (-1)^{\frac{a-1}{2}n' + \tfrac 12 \left( \frac{a + 1}{2} - k \right)}. \] Zahlreiche Folgerungen und erläuternde Beispiele sind hinzugefügt.