On the generalization of a formula of Mr. Catalan. (Q1556008)

Herr Catalan hat bemerkt, dass \[ \log 2 = \lim \left( 1 - \tfrac 12 + \tfrac 13 - \tfrac 14 + \cdots - \frac{1}{2n} \right)= \lim \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{2n}\right) . \] Indem man die Zähler im ersten Gliede durch \(u_1 u_2 u_3 \ldots\) ersetzt und \(v_{x} = u_{x} - u_{2x}\) setzt, leitet man daraus ab \[ u_{\infty} \log 2 = \frac{u_{1}}{1} - \frac{u_2}{2} + \frac{u_3}{3} - \cdots - \left[ \frac{v_1}{1} + \frac{v_2}{2} + \frac{v_3}{3} + \cdots \right]. \] Macht man \(xu_{x} = E(ax)\), wo \(E(x)\) die grösste in \(x\) enthaltene ganze Zahl ist, so ergiebt sich daraus eine sehr merkwürdige Reihe für \((4a \log 2 - \tfrac 16\pi^2)\).