On the possibility of integrating completely a given system of differential equations. (Q1556080)

Die Frage nach der Existenz der Integrale eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen und ihrer Darstellung innerhalb eines gewissen Gebietes der unabhängigen Variabeln ist in dem Falle endgültig erledigt worden, wo die Functionen, welche im System auftreten, für beliebige complexe Werthe ihrer Argumente definirt sind (Weierstrass, Sur la théorie des facultés analytiques Crelle J. XLI. p. 43, Briot et Bouquet, Théorie des fonctions doublement périodiques p. 49). Man kann dann voraussetzen, dass die unbekannten Lösungen mit Ausnahme gewisser Punkte in eine Reihe nach ganzen positiven Potenzen einer linearen Function der unabhängigen Variablen sich entwickeln lassen, und die Aufgabe besteht darin, die Convergenz der dem Systeme formal genügenden Reihen zu erweisen. Sind hingegen die im System vorkommenden Functionen nur für reelle Werthe ihrer Argumente gegeben, dann ist die Voraussetzung einer Entwickelbarkeit der Lösungen in Reihen der erwähnten Beschaffenheit im Allgemeinen nicht mehr zulässig und es bleibt noch die Aufgabe, die Bedingungen für die Möglichkeit einer vollständigen Integration eines solchen Systems aufzustellen. Vorliegende Arbeit bezweckt die Ausfüllung dieser Lücke. Das System habe die Form: \[ \frac{dy^{\alpha}}{dx} = f^{\alpha} (x, y^1 , y^2, \ldots y^n) \quad (\alpha = 1,2 \ldots n). \] Die Functionen \(f^{\alpha}\) sind für ein continuirliches Gebiet \(G\) von reellen Werthen der Variablen \(xy^{1} \ldots y^{n}\) gegeben und sollen innerhalb \(G\) eindeutig, continuirlich und numerisch kleiner als eine gegebene Grösse sein. Eine zweite wesentliche Bedingung ist die Ungleichheit \[ (1) \quad | f^{\alpha}(h, k^{1} \ldots k^{n}) - f^{\alpha} (h, l^{1} \ldots l^{n}) | <c^{\alpha 1}| k^{1} - l^{1}| + \cdots + c^{\alpha n}| k^{n} - l^{n}|, \] wo \(| w |\) den absoluten Betrag von \(w\) und \(c^{\alpha \beta}\) positive Constanten bedeuten. Die zu \(x = x_0\) gegebenen Aufangswerthe seien \(y^{\alpha} = y_{0}^{a}\). Das Werthsystem \((x_0 y_0^{1} \ldots y_{0}^{n})\) muss sich im Innern von \(G\) in einer endlichen Entfernung von den Grenzen befinden, so dass man positive Grössen \(a_{0}, b_{0}^{\alpha}\) von der Beschaffenheit bestimmen kann, dass die Werthsysteme \((x, y^{1}, \ldots y^{n})\), die den Ungleichheiten \[ | x - x_0 | \leqq a_{0}, | y^{\alpha} - y_{0}^{\alpha}| \leqq b_{0}^{\alpha}, \] genügen, noch innerhalb \(G\) liegen. Bedeutet nun \(A_{0}\) eine positive Grösse beliebig kleiner als \(a_{0}\), und wird das durch die Ungleichheiten \[ | x - x_{0} | < A_{0}, \quad | y^{\alpha} - y_{0}^{\alpha}| \overset {=} < b_{0}^{\alpha} \] definirte Gebiet \(H_{0}\) genannt, so handelt es sich darum, zu beweisen, dass es unter den erwähnten Bedingungen stets ein einziges System von \(n\) Functionen \(y^{1} \ldots y^{n}\) giebt, welches dem vorgelegten System der Differentialgleichung genügt, für \(x = x_{0}\) in das Werthsystem \(y_{0}^{1} \ldots y_{0}^{n}\) übergeht, und , während \(x\) den Weg von \(x_{0} - A_{0}\) zu \(x_{0} + A_{0}\) zurücklegt, sich innerhalb des Gebietes \(H_{0}\) stetig ändert. Zu dem Ende wird das Intervall zwischen \(x_{0}\) und \(x_{0} + A_{0}\) (für das Intervall zwischen \(x_{0}\) zu \(x_{0} - A_{0}\) gilt genau das gleiche Verfahren) in \(p\) kleinere Intervalle getheilt, so dass \[ x_{0} < x_{1} < x_{2} \ldots < x_{p} = x_{0} + A_{0}. \] Dann werden \(n\) Grössen \(\eta_{1}^{\alpha}\) durch die \(n\) Gleichungen \[ \eta_{1}^{\alpha} - y_{0}^{\alpha} = f^{\alpha}(x_{0} y_{0}^{1} \ldots y_{0}^{n}) \; (x_1 - x_0) \quad \alpha = 1,2 \ldots n \] und so fortfahrend \(n\) Grössen \(\eta_{a + 1}^{\alpha}\) durch die \(n\) Gleichungen \[ \eta_{a+1}^{\alpha} - \eta_{a}^{\alpha} = f^{\alpha}(x_{a}, \eta_{a}^{1} \ldots \eta_{a}^{n}) \; (x_{a + 1} - x_{a}) \quad \alpha = 1,2 \ldots n \] bestimmt, worin successive \(a = 1,2 \ldots p-1\) zu nehmen ist. Mit Hülfe der Ungleichheit (1) wird gezeigt, dass alle diese Systeme noch im Gebiet \(H_{0}\) liegen. Es erfolgt nunmehr eine weitere Theilung des Intervalls zwischen \(x_{a}\) und \(x_{a + 1}\), in \(p_{a}\) kleinere Intervalle und der Nachweis, dass das System \(\eta_{a + 1}^{\alpha}\; (\alpha = 1,2 \ldots n)\), welches man alsdann nach dem obigen Verfahren erhält, sich einer festen endlichen Grenze nähert, wenn man die Zahl \(p_{a}\) unbestimmt wachsen und die Intervalle zwischen \(x_{a}\) und \(x_{a + 1}\), unbestimmt abnehmen lässt, und zwar ist diese Grenze unabhängig von dem Gesetz, nach welchem die Zunahme von \(p_{a}\) und die Abnahme der entsprechenden secundären Intervalle geschieht, während die primären Intervalle zwischen \(x_{0} x_{1} \ldots x_{p}\) fest bleiben.