Criteria for singular integrals of first order differential equations. (Q1556087)

Die Frage wird von einem, wie uns scheint, ganz neuen Gesichtspunkt behandelt. Als singuläre Auflösung der Differentialgleichung \(f(xyy') = 0\) wird die Lösung \(y = \varphi \; (x)\) bezeichnet wenn keine ihr benachbarte Lösungen existiren, d. h. solche, welche entstehen, wenn man die Function \(\varphi \; (x)\) unendlich variiren lässt. Es darf also für die singuläre Lösung nicht gleichzeitig \[ f(xyy') = 0, \quad \delta f(xyy') = \frac{\partial f}{\partial y} \delta y + \frac{\partial f}{\partial y'} \delta y' + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \frac{\delta y^{2}}{1.2}+ \frac{\partial^{2}f}{\partial y \partial y'} \delta y \delta y' + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{\prime 2}} \frac{\delta y^{\prime 2}}{2} + \text{etc.}=0 \] für ein von Null verschiedenes \(\delta y\) stattfinden. Aus der zweiten Gleichung erhält man, wenn die Glieder der \(n^{\text{ten}}\) Dimension in Beziehung auf \(\delta y\) die niedrigsten sind, welche nicht sämmtlich verschwinden, für das Verhältniss \[ \frac{\delta y'}{\delta y} = \frac{d \log \delta y}{dx} = u \] die Gleichung \[ \frac{\partial^{n} f}{\partial y^{n}} + n \frac{\partial^{n-1}f}{\partial y^{n-1} \partial y'} u + \cdots \frac{\partial^{n}f}{\delta y^{n} y^{\prime n}}u^{n} = 0. \] Je nachdem dieselbe nun für \(u\) endliche Werthe liefert oder nicht, ist das gegebene Integral ein particuläres oder singuläres.