Zur Theorie der Integration eines Systems von \(n\) linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit 2 unabhängigen und \(n\) abhängigen Veränderlichen. (Q1556124)

Es wird zunächst folgendes System von \(n\) linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit \(x\) und \(y\) als unabhängigen und \(z_{1} \ldots z_{n}\) als abhängigen Variablen behandelt: \[ (1) \quad a_{1}^{i} p_{1} + \cdots + a_{n}^{i} p_{n} + \alpha_{1}^{i} p_{n} + \cdots + \alpha_{n}^{i}q_{n} = e_{i}\quad (i = 1,2, \ldots n), \] wo \[ p_{k} = \frac{\partial z_{k}}{\partial x}, \quad q_{k} = \frac{\partial z_{k}}{\partial y} \] und die Coefficienten \(a, \alpha, e\) Functionen von \(x y z_{1} \ldots z_{n}\) bedeuten. Die Integration dieses Systems wird im Allgemeinen auf die von \(n\) Systemen je zweier totaler linearer Differentialgleichungen zurückgeführt. Sind dieselben integrabel, wozu die Erfüllung gewisser Bedingungsgleichungen erforderlich ist, und lauten die Integrale des \(k^{\text{ten}}\) Systems \[ u_{k} = \text{const.}, \; v_{k} = \text{const.}, \] dann stellen \[ \varphi_{1}(u_1, v_1) = 0 \quad \varphi_{2}(u_2, v_2) = 0\;\ldots\;\varphi_{n} (u_{n}, v_{n}) = 0, \] wo \(\varphi_{1} \ldots \varphi_{n}\) willkürliche Functionen bezeichnen, die allgemeinen Lösungen des Systems (1) dar. Indem alsdann von der Form dieser Lösungen ausgegangen, und die partielle Differentialgleichung hergeleitet wird, der ein Integral \(\varphi \; (uv) = 0\) Genüge leistet, ergiebt sich ein Weg für die Integration des folgenden nicht linearen Systems von \(n\) partiellen Differentialgleichungen, von denen die \(i^{\text{te}}\) die Form hat: \[ (2) \quad a_{1}^{i} p_{1} + \cdots + a_{n}^{i} p_{n} + \alpha_{1}^{i} q_{1} + \cdots + \alpha_{n}^{i} q_{n} + \varSigma_{r,s} \beta_{r,s}^{i} (p_{r} q_{s} - q_{r} p_{s}) = 0 \] \[ (r, s = 1,2 \ldots n). \] Die Integration wird auch hier auf die von Systemen totaler Differentialgleichungen zurückgeführt, in der Voraussetzung, dass dieselben die Integrabilitätsbedingungen erfüllen. Ausserdem müssen die Coefficienten noch gewisse andere Relationen befriedigen, deren Zahl \(\frac{(n - 1) \; (n-2)}{2}\) ist, und welche fortfallen, wenn die sämmtlichen \(\beta\) gleich Null werden, wodurch (1) in (2) übergeht. Schliesslich folgt eine Anwendung dieses Integrationsverfahrens auf die Integration einer partiellen Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, deren Form als eine Verallgemeinerung der Ampère'schen Gleichung von Herrn Natani herrührt, und für deren Integration er zugleich einen Weg angedeutet hat. Sie lautet: \[ A_{1} q_{1} + \cdots + A_{n + 1} q_{n + 1} + \varSigma B_{r,s} (q_{r} q_{s + 1} - q_{s} q_{r + 1}) = A \] \[ (r,s = 1,2 \ldots n), \] wo \[ q_{1} = \frac{\partial^{n}z}{\partial x^{n}}, \quad q_{2} = \frac{\partial^{n}z}{\partial x^{n-1} \partial y}, \cdots q_{n+1} = \frac{\partial^{n}z}{\partial y^{n}} \] und \(A_{1} \ldots A_{n+1}, AB_{r,s}\) Functionen von \(xyz\) und allen Derivirten niederer als \(n^{\text{ter}}\) Ordnung von \(z\) nach \(x\) und \(y\) bezeichnen.