On curves the curve segment of which is an elliptic integral of the first kind. (Q1556206)

Es wird eine Schaar nicht algebraischer Curven betrachtet, deren Bogen sich als elliptische Integrale erster Gattung darstellen lassen, und deren Gleichung die Form hat \[ 4 \cos x = (e^c - e^{-c}) \; (e_y - e^{-y}). \] Zu jedem Werthe des Moduls \(k = \frac{2}{e^c + e^{-c}}\) gehört eine bestimmte Curve. Ihre Gesammtheit, \(c = \pm \infty \ldots 0\) oder \(k = 0 \ldots 1\), bedeckt eine Fläche, deren Gleichung aus der obigen entsteht, wenn man \(z\) für \(c\) setzt. Die Krümmung der Curven ist in allen Punkten, welche dieselbe Abscisse resp. Ordinate haben, dem Modul \(k\) resp. \(k'\) proportional. Die Fläche ist eine Minimalfläche. Aus ihr lässt sich wieder eine Schaar von Flächen bilden, auf denen je zwei Schaaren von Curven liegen, deren Bogen ein elliptisches Integral erster Gattung ist. Auch die Bogen der Krümmungslinien sind elliptische Integrale erster Gattung. Endlich untersucht der Herr Verfasser die sogenannte Ossian Bonnet'sche Biegungsfläche der obigen Minimalfläche; auch sie ist eine Minimalfläche. Die hier behandelten Minimalflächen dienen nicht nur dazu, den Verlauf der elliptischen Integrale erster Gattung darzustellen, sondern bieten auch vielfache Anwendungen vom Additions- und Multiplicationstheorem der elliptischen Functionen.