On the possibility of demonstrating the axiom of the parallels using stereometric considerations. Complement to the absolute geometry of Bolyai. (Q1556229)

Die Meinung des Verf., kurz zusammengezogen, scheint folgende zu sein. In der gewöhnlichen Geometrie ist die Ebene zweier Definitionen fähig, welche in der Nicht-Euklidischen Geometrie auseinandertreten: einmal kann man sie definiren als Kugel von unendlich grossem Radius, das andere Mal als geometrischen Ort der Durchschnittscurve der um zwei feste Punkte herumgelegten congruenten Kugeln. Bekanntlich benutzt Bolyai als Definition der Ebene die letztere. Die Kugeln mit unendlich grossem Radius sind bei ihm keine Ebenen; übrigens herrscht auf ihnen für Figuren, welche von geodätischen Linien (statt der geraden Linien) gebildet werden, die Euklidische Geometrie. Der Verf. schlägt nun vor, an der ersten Definition einfach festzuhalten und also die Kugeln von unendlich grossem Radius Ebenen zu nennen. Dann sei die Geometrie der Ebene euklidisch und also Alles in Ordnung. Der erste Theil dieser Behauptung ist evident, aber inhaltslos, der zweite unrichtig; denn diese ``Ebenen'' des Verf. haben nicht die Eigenschaft, durch 3 Punkte eindeutig bestimmt zu sein, wenn man nicht das Parallelenaxiom oder ein Aequivalent einführt. Vielmehr gehen durch 3 Punkte (allgemein zu reden) immer 2 ``Ebenen'' und durch 2 Punkte unendlich viele ``gerade Linien''.