On a special surface of minimum area. (Q1556591)

Der Herr Verfasser beschäftigt sich mit der Minimalfläche: \[ (1) \quad 1 + \mu \nu + \nu \lambda + \lambda \mu = 0, \] welche Herr Schwarz in seiner Preisschrift (``Bestimmung einer speciellen Minimalfläche'', Berlin 1871, siehe F. d. M. III. 411, JFM 03.0409.05) untersucht hat. Es wird der Nachweis, dass die Gleichung 1) eine Minimalfläche darstellt, auf anderem Wege geführt, indem die Existenz einer Minimalfläche \[ 1 + \mu \nu + \nu \lambda + \lambda \mu = 0 \] mit den Bedingungsgleichungen \[ \begin{aligned} & \lambda^{\prime 2} = a\lambda^{4} + b\lambda^{2} + c,\\ & \mu^{\prime 2} = a\mu^{4} + b\mu^{2} + c,\\ & \nu^{\prime 2} = a\nu^{4} + b\nu^{2} + c\end{aligned} \] \(\left(\text{wo } \; \lambda' = \frac{d\lambda}{dx}, \;\text{etc.}\right)\), nachgewiesen wird. Für die Coefficienten \(abc\) ergeben sich vier homogene quadratische Gleichungen, deren Lösungen für \(a = 1\) sind: \[ b = \tfrac{10}{3}, \; c= 1; \; b = -1, \; c = 1; \; b = -\tfrac{3}{2}, \; c = -\tfrac 13. \] Daraus folgen die beiden Gleichungen: \[ \lambda^{\prime 2} = \lambda^{4} - 2 \lambda + 1 = (\lambda^{2} - 1)^{2}, \] d. h. die Fläche des Herrn Schwarz, aus der nur \(x + y + z =\) const. folgt, und : \[ \lambda^{\prime 2} = \lambda^{4} - \tfrac{2}{3} \lambda^{2} - \tfrac 13 = (\lambda^{2} - 1) \; (\lambda^{2} + \tfrac 13), \] eine Fläche, welche ganz analoge Eigenschaften mit der ersteren hat.