Lemniscatische Geometrie, Verwandtschaft und Kinematik, abgeleitet mit Hülfe der Function complexen Arguments \(Z = \surd z\). (Q1556607)

Der Verfasser behandelt diejenige conforme Abbildung einer Ebene \(xy\) auf einer andern Ebene \(XY\), welche durch die Beziehung \[ X + iY = \sqrt{x + iy}, \quad \text{oder} \quad Z = \surd z \] vermittelt wird. Die bekannten Eigenschaften dieser Abbildung, dass jedem Punkte der einen Ebene \(xy\) ein Punktepaar der andern \(XY\), jeder Geraden der ersten eine gleichseitige Hyperbel der andern, jedem Kreise der ersten eine Lemniscate der andern entspricht etc., werden abgeleitet und eingehend discutirt. Ein Büschel von Kreisen, die in der Ebene \(xy\) durch zwei feste Punkte gehen, geht in ein Büschel von Lemniscaten der Ebene \(XY\) über, die durch vier feste Punkte gehen und sämmtlich geschlossene Curven bilden. Diejenigen Kreise, welche die des ersten Büschels senkrecht schneiden, gehen dabei in Lemniscaten über, die aus zwei getrennten Theilen bestehen und jene vier Punkte umhüllen. Diese beiden orthogonalen Lemniscatenbüschel und die sich daraus ergebenden Sätze sind jedoch nicht neu (cf. F. d. M. V. p. 427-429, JFM 05.0427.02). Die obige Beziehung wird weiter benutzt, um bekannte Sätze, die von Geraden und Kreisen der einen Ebenen gelten, auf gleichseitige Hyperbeln und Lemniscaten der andern Ebene zu übertragen, wobei jedoch sämmtliche Hyperbeln und Lemniscaten ihr Centrum im Punkte \(Z = 0\) haben. Die durch diese Uebertragung gewonnenen Sätze bezeichnet der Verfasser als lemniscatische Geometrie. Der Satz z. B., dass durch zwei Punkte nur eine Gerade möglich ist, geht dadurch über in den, dass durch zwei Punktepaare nur eine gleichseitige Hyperbel möglich ist (die beiden Punkte eines Punktepaares sind von dem Punkte \(Z = 0\) gleich weit entfernt und liegen mit ihm auf einer Geraden). Gleichen Strecken entsprechen correspondirende Hyperbelbogen, die nicht gleich sind, sondern in einer gewissen anderen Beziehung stehen. Congruenten Kreisen entsprechen correspondirende Lemniscaten, d. h. solche, für welche (ausser dem Mittelpunkte) der Parameter (das constante Product der Radienvectoren) derselbe ist, während der Brennpunktsabstand ein anderer wird. Namentlich werden so einige Sätze über harmonisches Verhältniss von Punkten und Strahlen, sowie über projectivische Punktreihen und Strahlenbüschel in analoge Sätze der lemniscatischen Geometrie übertragen. Daran schliesst sich folgende Betrachtung: Wenn man in der Ebene \(xy\) eine Figur durch reciproke Radienvectoren in eine andere derselben Ebene transformirt und nun den Complex beider Figuren durch die obige Abbildung auf die Ebene \(XY\) überträgt, so wird die Beziehung zwischen den beiden Figuren der letzteren Ebene lemniscatische Reciprocität oder isothermische Spiegelung gegen die Lemniscate genannt. Ueber diese neue Transformation wird eine Reihe von Sätzen aufgestellt, die einzeln anzuführen hier zu weit führen würde. Bemerkt mag nur werden, dass bei jener Transformation alle Lemniscaten, die der spiegelnden confocal sind, in confocale Lemniscaten übergehen, jede Hyperbel, die jene confocale Lemniscaten übergehen, jede Hyperbel, die jene confocale Schaar senkrecht schneidet, in sich selbst, jede andere Hyperbel in eine Lemniscate, etc. Durch diese Transformation ergeben sich gewisse Sätze über lemniscatische Verwandtschaft, die Sätzen von der Kreisverwandtschaft analog sind. Endlich gelingt es durch diese Betrachtungen auch, gewisse Abbildungsaufgaben zu lösen, namentlich die Aufgabe: Den von zwei Lemniscaten eines Büschels (cf. die obige Definition) und zwei orthogonalen Lemniscaten begrenzten rechtwinkligen Raum auf den Einheitskries abzubilden. Zum Schluss wird noch die Kinematik eines lemniscatisch veränderlichen Systems besprochen, d. h. die (mit Gestaltveränderung verbundene) Bewegung, welche ein System der Ebene \(XY\) in ein anderes überführt, falls beide zwei verschiedenen Lagen eines und desselben starren Systems der Ebene \(xy\) entsprechen.