Exposition of a new method for the resolution of numerical equations in all degrees. (Q1557137)

Ist \(f(x, y, z) = z^n + a z^{n-1} + \cdots + xz + y = 0 \) nach \(z\) numerisch aufzulösen, wobei die Gleichung so zubereitet sein möge, dass alle Coefficienten und Wurzeln kleiner als 1 sind, dann wird eine im Punkte \(x_0\,y_0\) der \(XY\)-Ebene errichtete Senkrechte das ''Conoid'' \(f=0\) in Punkten treffen, welche die Wurzelwerthe von \(f(x_0, y_0, z)\) geben. Zeichnet man für bestimmte kleine Intervalle \(z_0 = 0;\, 0,1;\, 0,2;\cdots\) die Geraden \(f(x, y, z_0)\) in der \(XY\)-Ebene, und bezeichnet diese nach dem Parameter \(z_0\) mit \((z_0)\), so wird der Punkt \(x_0\,y_0\) zwischen 2 Geraden \((z_0)\) und \((z_0')\) liegen, derart dass die Wurzel von \(f(x_0, y_0, z) = 0\) gleichfalls zwischen \(z_0\) und \(z_0'\) liegt; denn alle Geraden des Conoids sind ja der \(XY\)-Ebene parallel. Liegt \(x_0\,y_0\) zwischen mehreren Geraden-Paaren, so hat die Gleichung \(f=0\) eben so viele Wurzeln. Zeichnet man die Curve, welche das Geradenbüschel \(f(x, y, z_\lambda) = 0\) umhüllt, die ''courbe solutive'', so ergiebt sich dieser ein Mittel für die Trennung der Wurzeln.