Proof of a fundamental theorem on magic squares (Q1557255)

Die Einleitung enthält eine kurze historische Darstellung und eine Uebersicht der Literatur über diesen interessanten Zweig der Arithmetik, von dem \(14^{\text{ten}}\) Jahrhundert an bis in die neueste Zeit. Die sogenannten magischen Quadrate hatten in Mittelalter als Amulete, kabbalistische und magische Zeichen eine ähnliche mystische Bedeutung erlangt, wie das Sternfünfeck des Pythagoras. Das Sigillum Saturni des Paracelsus z.~B., dessen Gebrauch als Amulet feststeht, und welches aus feinem Villacher Blei gefertig wurde, stellt eine Quadrat\-ta\-fel mit 9 Zellen vor, in welche die Zahlen 1 bis 9 so eingeschrieben sind, dass die Summe der in jeder Zeile, Colonne und Diagonalreihe enthaltenen dieselbe, gleich 15, ist. Die zur Construction der magischen Quadrate von ungrader Zellenzahl aufgestellte mechanische Regel stammt in ihren Grundzügen wahrscheinlich bereits aus dem \(14^{\text{ten}}\) Jahrhundert, wurde aber von einem unbekannten holländischen Mathematiker im vorigen Jahrhundert wesentlich verbessert und vereinfacht. Für diese Regel giebt der Herr Verfasser nun den bis dahin fehlenden Beweis, in mehreren Unteragtheilungen, welcher darauf hinausläuft, dass in der That bei der vorgeschriebenen Anordnung der Zahlen für die beiden Diagonalreihen und für jede Colonne und Zeile der nämliche Summenwerth sich ergiebt, wenn alle darin vorkommenden Zahlen zusammen addirt werden. Bei einem Quadrat von \((2n+1)^2\) Zellen ist diese constante Summe gleich \(3n^3 + 6n^2 + 4n + 1\).