Comparison of two versions of the probable error. (Q1557294)

Die beiden zu vergleichenden Werthe des wahrscheinlichen Fehlers einer Unbekannten, welche nach der Methode des kleinsten Quadrate aus \(m\) Gleichungen mit \(n\) Unbekannten (\(m>n\)) bestimmt ist, werden erhalten, der eine nach dem gewöhnlich angewandten Verfahren, der andere, indem man die Wahrscheinlichkeit sucht, dass die betreffende Unbekannte zwischen zwei gegebenen Grenzen liege, während die anderen Unbekannten und das Genauigkeitsmaass alle möglichen Werthe annehmen. Der Quotient der beiden wahrscheinlichen Fehler \(r_1\) und \(R_1\) hat die Form \[ \frac {R_1} {r_1} = \frac {\varrho_p} {\varrho} \sqrt {\frac p 2} \] wo \[ p = m - n, \qquad \varrho = 0.47694 \ldots \] oder die Wurzel der Gleichung \[ \frac 1 4 \sqrt \pi = \int_0^\varrho dx\, e^{-x^2} \] ist, und \(\varrho_p\) der Gleichung \[ \frac 1 4 = A_p \int_0^{\varrho_p} \frac {dx} {(1+x^2)^{\frac p 2 + 1}}, \] \[ \left\{ \begin{aligned} & A_p = \frac 1 \pi \cdot \frac {p (p-2) \ldots 4 \cdot 2} {(p-1) (p-3) \ldots 3 \cdot 1} \qquad \text{(\(p\) grade)}\\ & A_p = \frac 1 2 \cdot \frac {p (p-2) \ldots 3 \cdot 1} {(p-1) (p-3) \ldots 4 \cdot 2} \qquad \text{(\(p\) ungrade)} \end{aligned}\right\} \] genügt. Durch ein nicht ganz nahe liegendes Verfahren wird hieraus die sehr einfache Untergleichung \[ r_1 > R_1 > r_1 \sqrt {\frac {p} {p+1}} \] abgeleitet.