Properties of solutions of linear differential equations with variable coefficients (Q1557434)

Der Verfasser hat sich der dankenswerthen Mühe unterzogen, die für die Theorie der linearen Differentialgleichungen fundamentalen Abhandlungen des Herrn Fuchs, welche seit dem Jahre 1866 datiren, in lichtvoller Darstellung zu reproduciren, und dadurch einem weiteren Leserkreise zugänglich zu machen. Als Grundlage dienen hierbei die in den Bänden 66 und 68 des Borchardt'schen Journals erschienenen Arbeiten des Herrn Fuchs, während die nachfolgenden Arbeiten desselben Verfassers, welche die Fruchtbarkeit dieser Theorie in verschiedenen Anwendungen darlegen, sowie die sich anschliessenden Untersuchungen anderer deutscher Mathematiker wie Thomé, Frobenius nicht in den Kreis der Darstellung gezogen sind. Dem Verfasser eigenthümlich ist zunächst ein Beweis des Satzes, dass wenn die Functionaldeterminante von \(n\) partikulären Integralen \(y_1,y_2\ldots y_n\) einer linearen homogenen Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung \[ D=\varSigma\pm y_1y_2'y_3''\ldots y_n^{(n-1)} \] verschwindet, zwischen den \(n\) Integralen eine homogene lineare Gleichung mit constanten Coefficienten besteht. (Die Umkehrung dieses Satzes leuchtet unmittelbar ein.) Hierzu bemerken wir, dass bereits ein auf den nämlichen Principien beruhender Beweis desselben satzes von Herrn Frobenius in Borchardt J. Bd. LXXVI. p. 238 existirt, in welchem der von Herrn Tannery ausser Acht gelassene Fall, dass die sämmtlichen Unterdeterminanten von \(D\) bis zu einer gewissen Ordnung verschwinden, mit berücksichtigt ist. (Ein davon verschiedener Beweis ist früher bereits von Herrn Christoffel im Borchardt J. LV. p. 293 gegeben worden). Für die Feststellung ferner der Form, welche die Coefficienten der Differentialgleichung in der Umgebung eines singulären Punktes \(a\) haben müssen, wenn sämmtliche Integrale derselben mit einer endlichen Potenz von \(x-a\) multiplicirt, endlich bleiben sollen, ist der NAchweis des Satzes wichtig, dass der Ausdruck \[ D\cdot (x-a)^{- \underset{\alpha} {\varSigma} r_\alpha + \frac{n(n-1)}{2}} \] von Null verschieden ist, wenn \(r_1\ldots r_n\) die Exponenten sind, zu denen resp. \(y_1\ldots y_n\) gehören. Herr Tannery macht nun auf die Schwierigkeit aufmerksam, welche eintritt, wenn einige \(r\) einander gleich werden, indem nämlich der beim Beweise gebrauchte Hülfssatz, dass die Ableitung einer Function, die zum Exponenten \(r\) gehört, den Exponenten \(r-1\) habe, eine Ausnahme erleidet, wenn \(r\) gleich Null ist, und die Function für \(x=a\) nicht unendlich wird. Der Verfasser hebt diese Schwierigkeit, indem er von 2 Integralen, die zu einem gleichen Exponenten \(r\) gehören, eine lineare Combination mit constanten Coefficienten bildet, die in diesem Falle immer so gewählt werden kann, dass ihr zugehöriger Exponent grösser als \(r\) ist. Es sei hier gelegentlich bemerkt, dass dann immer die die Exponenten liefernde \(determinirende\) \(Fundamentalgleichung\) der entsprechenden Differentialgleichung verschiedene Wurzeln ergiebt, wie dies in dem vom Verfasser pag. 150 angezogenen Beispiel der Fall ist, wo die Wurzeln der determinirenden Gleichung \(\frac 12\) und \(\frac 32\) sind. Zum Schluss giebt der Verfasser eine eingehende Anwendung der Theorie auf die Riemann'sche Differentialgleichung mit drei singulären Punkten, welche leicht auf die Gauss'sche Differentialgleichung, der die hypergeometrische Reihe genügt, zurückgeführt wird. Hierbei wird für die Entscheidung über das Auftreten von Logarithmen in den Integralen mit grossem Vortheile von einem Kriterium Gebrauch gemacht, welches unter anderen einem Kriterium Gebrauch gemacht, welches unter anderen ebenfalls von Herrn Fuchs angegeben ist, aber unseres Wissens in den späteren darauf gerichteten Untersuchungen wenig Beachtung gefunden hat. Ist \(r_1\ldots r_\lambda\) die Gruppe der nur um ganze Zahlen unterschiedenen Exponenten, so geordnet, dass \(r_\alpha-r_\beta\) positiv ist, wenn \(\alpha<\beta\), so besteht das Verfahren darin, die Differentialgleichung aufzustellen, welcher die \((r_1-r_\lambda+1)^{\text{ten}}\) Ableitungen von \(y(x-a)^{-r_\lambda}\) und nur diese genügen. Je nachdem die determinirende Fundamentalgleichung der letzteren ganze negative Wurzeln hat oder nicht, sind die Integrale der ursprünglichen Differentialgleichung mit Logarithmen behaftet oder nicht. In der Entwickelung der allgemeinen Theorie hat sich übrigens der Verfasser bei der Discussion über das Auftreten von Logarithmen in den Integralen auf die Wiedergabe des erwähnten Kriteriums beschränkt.