Remarque sur un passage de la lettre de M. Genocchi. (Q1557454)

Herr Darboux (JFM 07.0198.02) zeigt, wie die auf Cauchy'schen Principien beruhende Beweismethode der Herren Briot und Bouquet für die Existenz von Integralen bei einem System gewöhnlicher Differentialgleichungen sich auf den Existenzbeweis der Integrale partieller Differentialgleichungen ausdehnen lässt. Es sei die partielle Differentialgleichung \[ (1)\quad \frac{\partial \nu}{\partial t} = F(p_1p_2\ldots p_n,\; q_1q_2\ldots q_n, \; t) \quad \left( p_k=\frac{\partial \nu}{\partial q_k} \right) \] gegeben, in der unbeschadet der Allgemeinheit die unbekannte Function \(\nu\) selbst nicht vorkommt, so idt zu zeigen, dass, falls die Function \(F\) in der Umgebung von \[ t=0,\quad q_i=q_i^0,\quad p_i=p_i^0 \] endlich und continuirlich is, die Gleichung (1) ein in einer convergenten Reihe darstellbares Integral hat, welches für \(t=0\) in eine gegebene in der Umgebung der Werthe \(q_1^0\ldots q_n^0\) endliche und stetige Function \(f(q_1\ldots q_n)\) übergeht, so dass \(p_i^0 =\frac{\partial f}{\partial q_i}\). Der Einfachheit wegen wird \[ q_1^0=q_2^0=\ldots q_n^0=0 \] gesetzt. Durch die Substitution \[ V'=V-f_0-p_1^0q_1- p_2^0q_2 - \cdots -p_n^0q_n, \] welche zur Folge hat: \[ p_i'=p_i-p_i^0 , \] erhält man für \(V'\) die Differentialgleichung \[ (2)\quad \frac{\partial \nu}{\partial t} = \varPhi(p_1p_2\ldots p_n, \; q_1q_2\ldots q_n, \; t), \] wo die Indices nach der Substitution weggelassen sind, und die neue Function \(V\) für \(t=0\) sich auf eine Function \(\varphi(q_1q_2\ldots q_n)\) reduciren muss, die nebst ihren ersten Derivirten für die Nullwerthe der \(q\) verschwindet. Hieraus und aus der obigen Voraussetzung über die Function \(F\) folgt, dass \(\varPhi\) in eine convergente Reihe entwickelbar ist, so lange die Moduln der Grössen \(p_iq_it\) gewisse Grenzen resp. \(r,\varrho,\tau\) nicht überschreiten, dass ferner, wenn \(m\) den Maximalwerth bezeichnet, den der Modul von \(\varphi\) annimmt, so lange die \(q\) unterhalb \(r\) bleiben, \(r\) hinlänglich klein gewält werden kann, so dass \(\frac mr\) kleiner als jede vorgeschriebene Grösse wird. Es sei \[ \varrho\frac mr <1 , \] dann wird in (2) die Substitution eingeführt \[ V=\frac{rV'}{\varrho},\quad q_i=rq'_i,\quad t=\tau t', \] und man erhält die Differentialgleichung \[ (3) \quad \frac{\partial \nu}{\partial t} = \varPsi(p_1p_2\ldots p_n,\; q_1q_2\ldots q_n,\; t), \] wo \(V\) für \(t=0\) in die Function \(\frac{\varrho}{r}\varphi\) übergeht, deren Maximalmodul, so lange die Moduln der \(q\) unter der Einheit bleiben, kleiner als 1 ist. Diese wird nun mit der folgenden Differentialgleichung für \(W\) \[ (4) \quad \frac{\partial W}{\partial t} = \frac{M}{ \left( 1-\frac{\partial W}{\partial q_i} \right) \cdots \left( 1-\frac{\partial W}{\partial q_n} \right) (1-q_1)\ldots (1-q^n) (1-t) } \] verglichen, mit der Bestimmung, dass \(W\) für \(t=0\) gleich \[ \frac{\mu}{(1-q_1)\ldots (1-q_n)} \] wird. Hier sind \(M\) und \(\mu\) die resp. Maximalmoduln von \(\varPsi\) und \(\frac{\varrho}{r}\varphi \) innerhalb der erwähnten Bereiche, also \(\mu<1\). Die Coefficienten in der Reihe für \(V\), welche der Gleichung (3) und der anderen Bedingung formal genügt, sind ihren absoluten Betrage nach kleiner als die entsprechenden in der Entwickelung von \(W\). Es kann nun bewiesen werden, dass eine den gegebenen Bedingungen genügende Function \(W\) existirt. Somit ist die Convergenz der Reihe für \(V\) nachgewiesen. (Herr Darboux stellt die Function \(W\) nicht dar, sondern verweist hierfür auf iene spätere Arbeit, indess sicht man leicht, dass das vollständige Integral von (4) ist \[ W=-c\text{ log }(1-t) + c_1\text{ log }(1-q_1) +c_2\text{ log }(1-q_2)+ \cdots \] \[ +c_{n-1}\text{ log }(1-q_{n-1})+ \frac{M}{cc_1\ldots c_{n-1}} \text{ log }(1-q_n) \] \[ +q_1+q_2+\cdots +q_n+c_n, \] woraus man in bekannter Weise ein Integral ableitet, das für \(t=0\) in die verlangte Form übergeht. (Vergl. Mayer, Clebsch Ann. VI. 167.)). Dieselbe Methode wird ohne wesentliche Modification auf Systeme partieller Differentialgleichungen beliebiger Ordnungen ausgedehnt. Herr Genocchi (JFM 07.0198.03) macht darauf aufmerksam, dass bereits Cauchy im Jahre 1842 den ersten Beweis der Existenz eines allgemeinen Integrals für jede partielle Differentialgleichung und eines Systemes von allgemeinen Integralen für ein System beliebiger partieller Differentialgleichungen gegeben hat. (C. R. XIV. 1020-1023, XV. 44-58, 85-101, 131-138). Auf eine andere Bemerkung des Hrrrn Genocchi, in welcher er glaubt, Cauchy gegen eine Aeusserung des Herrn Puiseux in dem Bericht vom \(10^{\text{ten}}\) März 1873 in Schutz nehmen zu müssen, erklärt Herr Puiseux, dass die betreffende Kritik auf Cauchy keinen Bezug habe. Endlich citirt noch Herr Genocchi die Noten C. R. XXIV. 886-887 und XXXVI. 456-458 von Cauchy als Belege dafür, dass dieser bereits die Theorie der Räume von mehreren Dimensionen unter dem Namen der ``analytischen Oerter'' eingeführt hat, und dass er den von den deutschen Mathematikern mit dem Ausdruck ``gleichmässige Convergenz'' bezeichneten Begriff schon im Jahre 1853 definirt und einige Theoreme darüber entwickelt hat.